Основной закон вязкого сопротивления

Ньютоном была предложена гипотеза о том, что законы сопротивления жидких тел противоположны зако­нам Кулона трения твердых тел и что сила сопротивле­ния между смежными слоями жидкости, движущимися с разными скоростями, пропорциональна площади этих слоев, не зависят от давления но зависит от относительной скорости и природы самой жидкости. В работах Н. П. Петрова¹ эта гипотеза была развита и закон вязкостного сопротивления записывается в следующей форме:

F — сила сопротивления; S — площадь двух со­прикасающихся слоев жидкости; du/dn — градиент скорости;

μ - динамиче­ская вязкость, раз­личная для различных жид­костей.

Градиент скорости изме­ряется вдоль по нормали к направлению течения по­тока, Очевидно (рис. 5),

Вязкость можно понимать как касательное напряжение при градиенте скорости, равном единице. Как видно из рис. 5.5, градиент скорости du/dn может быть ≥ 0. Он равен нулю в том месте, где мы имеем максимальную скорость.

Пользуясь условием однородности всякого физиче­ского уравнения, находим динамическую вяз­кость μ:

и

В системе СИ

Оценка вязкости возможна и через отношение μ /ρ, которое обозначают ν и называют кинематической вязкостью:

сопротивления. Движение предусматривается установившимся и равномерным в трубах цилиндрической формы с неиз­менным диаметром вдоль по течению.

Распределение скоростей в попереч­ном сечении. Воспользуемся схемой, изображенной

Рис. 8

на рис. 8, и напишем основное уравнение равномер­ного движения для внутреннего цилиндра радиусом r. По уравнению (7) имеем:

(13)

Касательное напряжение τ на боковой поверхности выделенного цилиндра определим в соответствии с зако­ном Ньютона о силе сопротивления в жидкости, а именно

. (14)

При направлении координатных осей u и n, указан­ном на рис. 8, - ось скорости и вдоль оси трубы, ось нормали к направлению скорости - вдоль радиуса r мо­жем записать:

(15)

Знак минус потому, что здесь при dr> 0 имеем du< 0.

После подстановки в (13) получим дифференциаль­ное уравнение распределения скорости в таком виде:

или

(16)

Проинтегрировав, найдем

(17)

Определим постоянную интегрирования С по условиям на границе. В точке y стенки трубы r=r₀, т.е. радиусу трубы, а скорость u=0. Тогда

и

Следовательно, уравнение (17) получит вид:

(18)

Очевидно, что на оси трубы скорость будет максимальной (r=0), и тогда

Итак, распределение скорости по сечению трубы под­чиняется параболическому закону. Изотахи – линии равной скорости будут пред­ставлять собой концентрические окружности.

Среднюю скорость υ определяем по формуле

(19)

Элементарную площадку dω выберем «в форме кольца радиусом г и толщиной dr (рис. 5.9), в пределах кото­рого скорость одна и та же:

Площадь кольца dω =2π rdr (с точностью до малых второго порядка).

Тогда расход потока в трубе

Разделив (20) на , найдем среднюю скорость

(21)

Следовательно, средняя скорость равна половине мак­симальной.

Потерянный напор найдем из (21) (заметим, что ):

Рис. 9

Умножив и разделив правую часть на 2υ и затем пре­образовав, получим:

Но , поэтому окончательно получим

(22)

или, обозначив

(23)

Формула (23), как известно, называется формулой Дарси-Вейсбаха. Здесь - коэффициент гидравлического сопротивления в трубах. Как видно, при ламинарном движении коэффициент является функцией числа Рейнольдса.

(24)

Ламинарное движение в трубопроводе – движение вихревое. Действительно, компоненты вихря определяются такими уравнениями

(25)

Чтобы движение было безвихревым (потенциальным), необходимо соблюдение условия

Проверим это условие. При ламинарном движении в трубах скорость в любой точке поперечного сечения

(26)

Запишем выражения для скорости и в функции координат x, y, z. Учитывая, что (при расположении оси 0х вдоль оси трубопровода) и что получаем:

(26а)

Заметим, что производные и равны нулю (так как u_z=u_y=0), поэтому

Таким образом, два компонента вихря, а именно и , не равны нулю и вихрь ω (или 2ω) не равен нулю, а потому рассматриваемое ламинарное движение оказывается вихревым.