Местные сопротивления.

Потери на местные сопротивления оцениваются общей формулой

, (1)

где - коэффициент местных сопротивлений, зависит не только от вязкости и скорости течения основного потока, но главным образом от геометрической формы и размеров препятствий на пути потока.

Теоретические решения известны только для некоторых частных случаев: внезапное расширение трубы (теорема Борда-Карно), плавный поворот потока (работы А.Я. Миловича) и др.

Рис.1.

Здесь рассмотрим только вопрос о потере напора при внезапном расширении трубопровода.

Пусть имеем трубопровод с внезапным изменением его диаметра (площади поперечного сечения) (рис. 1). Поток жидкости, выходя из трубы с меньшим диаметром сечения в трубу с большим диаметром, постепенно расширяется и затем занимает все сечение трубы большего диаметра (предусматривается турбулентный поток). В кольцевом пространстве между стенками трубы и струей жидкость находится в сложном циркуляционном движении с обменом масс. Частицы жидкости основного потока (на участке его расширения) заходят в это пространство и, совершив там петлеобразные движения, снова входят в основной поток. На поддержание этого процесса главным образом и расходуется энергия основного потока.

Теорема Борда-Карно. Потерянный напор при внезапном расширении трубы равен скоростному напору потерянной скорости

, (2)

где разность называется потерянной скоростью.

Докажем теорему.

Масса жидкости, заключенная в трубе между сечениями (I-I и II-II) за время dt переместится и займет положение между сечениями и . На рис. 1 отметим три области: а и с – заштрихованы на рисунке и средняя область b.

Составим уравнение изменения количества движения для выделенной массы за время dt. Определим величину d(mυ)

,

но при установившемся движении, какое и предусматривается в данном случае

к.д(b)_t+dt=к.д(b)_t

Поэтому, опуская индексы t и t+dt и полагая коэффициент Буссинеска , получаем:

(3)

где

и

Таким образом, равенство (5.61) надо записать так:

. (4)

Составим выражение импульсов действующих сил в проекциях на ось движения

Поверхностные силы – силы давления жидкости на торцевые сечения и , т.е. силы Р₁ и Р₂:

и .

Давление стенок трубы на боковую поверхность выделенной жидкости массы – силы N, N … Их проекция на ось трубы равны нулю, и, наконец, сила Р₃ – сила давления стенки трубы в плоскости 1-го сечения – определяется так:

,

где - площадь кольца (рис. 1)

Объемная сила. Сила тяжести жидкости в объеме от сечения I-I до сечения II-II

,

её проекция равна .

Но , где z₁ и z₂ – координаты центра тяжести сечений и , поэтому можно записать:

.

Составим выражение суммы импульсов всех сил

.

Тогда уравнение изменения количества движения получит вид:

. (5)

Сокращая на , получим:

. (5.а)

Поскольку , то запишем:

.

Умножая затем числитель и знаменатель на 2, и преобразовывая далее, получаем:

. (6)

Заменяя теперь левую часть уравнения (63а) выражением (64), получаем:

или, группирую слагаемые несколько иначе,

(7)

При сопоставлении этого уравнения с уравнением Бернулли легко видеть, что четвертое слагаемое правой части представляет собой потерянный напор на участке от первого до второго сечения, т.е. потерянный напор при внезапном изменении площади поперечного сечения потока.

Итак, окончательно получим:

, (8)

что и доказывает теорему Борда-Карно.

Потеря напора при слиянии двух потоков. Допустим, что в трубопроводе с площадью поперечного сечения в плоскости n-n (рис. 2) одновременно входят два параллельных друг другу потока.

Первый поток с расходом , второй – с расходом . В плоскости n-n начинается их слияние, и на некотором расстоянии (в сечении m-m) они образуют единый поток с расходом

, где , а .

Пусть в плоскости n-n давление для обоих потоков общее и равно p, тогда, если удельная энергия первого потока Е₁, а второго Е₂ , то их разность

Рис.2. .

Удельная энергия объединенного потока в сечении m-m

.

Если один из двух этих потоков например второй поток, имеет удельную энергию в начальном сечении n-n, равную , и, следовательно, при смешении его удельная энергия возрастает, то первый имеет больший начальный запас энергии (E₁> E₂), и он расходует свою энергию как на преодоление всех гидравлических сопротивлений при смешении, так и на увеличение энергии второго потока. Потерянный напор по отношению к первому потоку равен:

.