Основные принципы анализа размерностей.

Анализ размерностей физических величин, характеризующих данное явление, позволяет составить инварианты физического подобия. К этому способу прибе­гают в тех случаях, когда явление настолько сложно, что его не пред­ставляется возможным описать дифференциальным уравнением.

Анализ размерностей позволяет функциональную зависимость самого общего вида свести к строго определенному числу безразмер­ных комплексов физических величин, а при наличии подобия — к строго определенному числу инвариантов подобия или критериев подобия. В основе этого способа лежит понятие размерности физиче­ской величины, под которой понимается представление ее в виде за­висимости от основных единиц измерения.

Основными единицами измерения служат единицы длины L, еди­ницы времени T, единицы силы К, и т. п. Таким образом, например размерность скорости w может быть представлена в виде формулы раз­мерности

Основные единицы измерения могут быть представлены в трёх системах: СГС (сантиметр-грамм-секунда), МКС (метр-килограмм-секунда) в МКГСС (метр- килограмм - сила- секунда), и СИ – стандартной системе единиц (метр-килограмм-секунда). В технических рас­чётах обычно основные единицы измерения выражают по системе МКС.

Понятие размерности физических величин позволяет представлять их в виде степенных уравнений. При соблюдении принципа однород­ности в уравнениях связи между физическими величинами эти урав­нения также могут быть представлены в виде степенных от основных единиц измерения, причем характер зависимости не изменяется при изменении масштабов применяемых единиц.

Число безразмерных комплексов, которое может быть получено из данной функциональной зависимости, устанавливается при помощи π -теоремы, согласно которой: если в исходную функциональную за­висимость самого общего вида входит n характеризующих процесс физических величин, которые выражаются через m основных единиц измерения, то эта зависимость может быть сведена к (n—m) числу безразмерных отношений, так называемых π -отношений.

Приведение исходных функциональных зависимостей самого об­щего вида к зависимости между безразмерными π -комплексами можно представить следующим примером. Предположим, что на основании опытных измерений установлено, что сила сопротивления тела R, дви­жущегося вблизи свободной поверхности вязкой жидкости, зависит от величин:

R — сила сопротивления кГ; l — линейный размер тела, м; v — скорость жидкости, м/сек; ρ — плотность жидкости, = вязкость жидкости, кГ-сек/м²; g — ускорение силы тяжести, м/сёк². Выписываем размерности величин, входящих в исходную зависи­мость в виде формул размерности:

Подставляем в исходную зависимость формулы размерности соот­ветствующих физических величин. Далее эту зависимость выразим в виде степенного уравнения с постоянным коэффициентом а и показа­телями степеней:

откуда

.

При сравнении показателей степени при одинаковых основаниях в левой и правой частях последнего равенства получим три уравнения, содержащих пять переменных:

На основании π -теоремы устанавливаем, что при числе физических величин n=6, которые выражаются через три основные единицы измерения (K, L, Т), т. е. m=3, исходная функциональная зависи­мость может быть сведена к трем безразмерным отношениям. В соот­ветствии с этим полученную систему трех уравнений решаем относи­тельно трех переменных х, у, z, полагая, что р и q заданы. Тогда по­лучим

,

Произведя перегруппировку множителей, объединяя величины с одинаковыми показателями степени и учитывая, что получим формулу сопротивления в виде безразмерного уравнения

Принимая во внимание, что — критерий Эйлера, критерий Рейнольдса, - критерий Фруда, a — безразмерный коэффициент пропорциональности, будем иметь

Таким образом, анализ размерностей позволяет получать инвари­анты физического подобия или критерия подобия, если такое соблю­дается.

Однако использование принципа размерности дает возможность находить зависимости между физическими величинами, выраженными в безразмерных комплексах, только в том случае, если известны все величины, входящие в эту зависимость.

Поэтому метод размерности сам по себе может оказаться недоста­точным для определения зависимостей между физическими величинами и требуется хорошее понимание сущности процесса.

Физическое моделирование. Масштабирование. Сущность физи­ческого моделирования заключается в решении двух задач: 1) в на­хождении постоянных в критериальном уравнении, которыми описа­на физическая модель процесса, 2) в построении модели. Если рассматриваемый процесс является сложным, зависящим от большого числа параметров, для которого трудно построить полную модель, то прибегают к приближенному моделированию.

В качестве примера возьмем критериальное уравнение сопротивле­ния при движении жидкости в аппаратах, которое выражается в виде зависимости

, (25)

(26)

Изменяемые параметры: а) геометрические l, d и т. п.; б) физи­ческие γ, μ и т. п.; в) переменные , и т. п.

Физическое моделирование выполняется в следующей последовательности: 1. Опыты ставятся в аппаратах различных размеров при соблюдении геометрического подобия и определяются зависимости искомых переменных величин от физических параметров.

Масштабы опытных установок выбираются с соблюдением геометрического подобия.

Например, в мешалках в качестве определяющего гео­метрического размера принимается эквивалентный диаметр насадки d_э; в аппаратах с мешалками диаметр мешалки d_м (диаметр окруж­ности, ометаемой лопастью мешалки) и т. п.

2. На каждой модели ставится несколько опытов, в которых меня­ются физические параметры для получения зависимости между ними. Взаимодействие параметров может быть непосредственно учтено при постановке направленного эксперимента или многофакторного пла­нирования.

3. Зависимость между безразмерными комплексами строится в логарифмических координатах, так как критериальные уравнения на основе принципа теории размерности — степенные уравнения и, сле­довательно, в логарифмических координатах они представляются прямыми линиями. Для этого опытные точки, обработанные в виде безразмерных комплексов (например, безразмерный коэффициент трения и число Рейнольдса Re), наносятся на логарифмиче­ский график.

По методу наименьших квадратов определяется положение прямой, около которой группируются опытные точки. Тангенс угла наклона полученной прямой выражает показатель степени n при определяю­щем безразмерном комплексе, а отсекаемый отрезок — множитель или коэффициент пропорциональности A в степенном уравнении:

. (27)

Однако коэффициент пропорциональности А обычно находят не только по отсекаемому отрезку, а при найденном показателе степени n задаются рядом значений Re и определяют соответствующие численные значения Re^-n. По графику при заданных числах Re берут соответствующий ряд значений λ и степенное уравнение решают относительно величины А:

(28)

Если на графике, выражающем связь между безразмерными ком­плексами, появляется горизонтальный или вертикальный ход прямой, это указывает на возникновение так называемого автомодельного ре­жима. Так, например, автомодельный режим появляется в шероховатых трубах при больших числах Рейнольдса, при этом коэффициент сопротивления становится постоянной величиной (λ = const), не за­висящей от Re.

Автомодельный режим может возникать в различных процессах. Автомодельность может характеризоваться независимостью процесса от любого параметра, т. е. он может быть автомодельным в смысле независимости от линейных размеров системы, от некоторых физических свойств системы и т. п. Так, например, режим эмульгирования в насадочных колоннах является автомодельным в смысле независимости от молекулярных характеристик процесса, таких как молеку­лярная вязкость и молекулярная диффузия. Распределение жидкости по сечению насадочной колонны в режиме эмульгирования становится автомодельным, так как не зависит от диаметра колонны.

Наличие автомодельных условий, т. е. исключение влияния одного или нескольких параметров на процесс, значительно упрощает задачу моделирования процесса в целом. Режим так называемого захлебывания в диффузионных аппаратах является автомодёльным режимом двухфазных систем.

Чтобы возможно было моделирование, необходимо закономерности процесса выражать или в форме критериального уравнения, или в форме уравнения, связывающего безразмерные отношения. Послед­ний вид уравнений наиболее типичен для процессов массопередачи в двухфазном потоке. Таким образом, построение физической модели основывается на использовании установленной критериальной зависи­мости. При этом могут быть созданы две модели; 1) геометрическая модель для различных физических систем; 2) геометрическая модель для одной и той же физической системы, но в пределах одного класса явлений (масштабирование).

Применительно к процессам массопередачи создание геометриче­ской модели для различных физических систем производится на осно­вании установленных закономерностей: а) между гидродинамически­ми параметрами и линейной скоростью потока, определяющей сечение аппарата; б) между гидродинамическими и физико-химическими па­раметрами, определяющими скорость протекания процесса и соот­ветственно длиной или высотой аппарата.

Создание геометрической модели для одной и той же физической системы (масштабирование), т. е. когда перерабатываемые продукты остаются одними и теме же и меняется лишь производительность, сводится к изменению масштаба модели и заключается в нахождении законов перехода от одних размеров аппарата к другим. Так, на­пример, масштабирование насадочных колонн для одних и тех же систем, характеризуемых удельными весами (, ) и вязкостями (, ), при одном и том же соотношении потоков жидкости (L) и газа (О), переход от одного основного размера аппарата к другому в двухфазной системе сводится к выполнению условий:

где , — линейные скорости потоков в двух аппаратах; , —линейные скорости потоков в двух аппаратах, в некоторой фиксированной критической (автомодельной) точке (например, точке инверсии, или захлебывания).

При физическом моделировании изучение данного явления проис­ходит при его воспроизведении в разных масштабах и анализе влия­ния физических особенностей и линейных размеров. Эксперимент про­водится непосредственно на изучаемом физическом процессе. Опытные данные представляются в форме зависимостей безразмерных комплек­сов, составленных комбинацией различных физических величин и ли­нейных размеров.

Физическое моделирование сводится к воспроизведению постоян­ства определяющих критериев подобия в модели и объекте. Практиче­ски это означает, что надо несколько этапов воспроизводить иссле­дуемый физический процесс, т. е. переходить от меньших масштабов осуществления данного физического процесса к большим, закономер­но варьируя определяющими линейными размерами. Таким образом, деформация физической модели осуществляется непосредственно на самом физическом процессе. Такой подход требует воспроизведения физического процесса во все больших и больших масштабах (вплоть до заводских).

Для сравнительно простых систем, таких, как гидравлические или тепловые с однофазным потоком, принцип подобия и физическое моделирование оправдывают себя, оперируя ограниченным числом критериев. Для сложных систем и процессов, описываемых сложной системой уравнений с большим набором критериев подобия, которые становятся одновременно несовместимыми, использование принципов физического моделирования наталкивается на трудности принципи­ального характера. Они заключаются в том, что не существует урав­нений движения двухфазных потоков общего вида, отсутствует возмож­ность задать граничные условия на нестационарной поверхности раз­дела фаз. Тем более не представляется возможным написать уравне­ния общего вида для двухфазной системы, осложненные массообменом.

Поэтому существуют лишь критерии подобия только для однофазных систем. Попытки же заменить описание двухфазных систем введением критериев, полученных для каждой фазы раздельно, являются научно необоснованными, так как при этом не учитывается взаимодействие фаз. В отличие от математического моделирования при физическом моделировании не рассматриваются конкретные свойства математического описания изучаемого процесса, и не вскрывается, механизм или структура процесса. Всегда следует иметь в виду, что математическое моделирование ни в коей мере не противопоставляется физическому моделированию, а скорее призвано дополнить его имеющимся арсеналом средств математического описания и численного анализа. В настоящее время методы физического моделирования приобретают новое качество – они могут быть использованы для определения границ деформации коэффициентов, входящих в уравнения математической модели, и тем самым позволяют масштабировать математически описанный процесс и устанавливать адекватность модели изучаемому объекту.