![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дифференциальные уравнения движения Навье-Стокса
При движении реальной (вязкой) жидкости в потоке жидкости помимо сил давления и тяжести действуют также силы трения. Действие сил трения Т на выделенный в потеке вязкой жидкости элементарный параллелепипед (рис.1) проявляется в возникновении на его поверхности касательных напряжений τ. Рассмотрим первоначально относительно простой случай одномерного плоского потока капельной жидкости в направлении оси х, когда проекция скорости
В этих условиях касательные напряжения возникают лишь ни поверхностях dF верхней и нижней граней элементарного параллелепипеда, причем dF= dxdy. Рис.1. К выводу уравнений Навье-Стокса. Если касательное напряжение на нижней грани параллелепипеда равно τ, то на верхней оно составляет При этом направления касательных напряжений на нижней и верхней гранях обусловлены, например, тем, что более медленные вышележащие слои жидкости затормаживают слой, в котором находится параллелепипед, а более быстрые нижележащие слои «разгоняют» его. Производная Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х
Подставив в это выражение значение касательного напряжения τ по уравнению Ньютона:
В более общем случае трехмерного потока составляющая скорости
Сумму вторых производит по осям координат называют оператором Лапласа:
Следовательно, проекция равнодействующей сил трения на ось x может быть представлена как Соответственно проекции равнодействующей сил трения на ось y: на ось z
Проекции на оси координат равнодействующей всех сил (тяжести, давления и трения), действующих на элементарный объем капельной жидкости (с учетом проекций сил тяжести и давления, полученных при выводе уравнений Эйлера), составляют: на ось х на ось y на ось z Суммы проекций сил на оси координат, в соответствии с основным принципом динамики, должны быть равны произведению массы жидкости
где соответствующие субстанциональные производные выражены для установившегося и неустановившееся потоков уравнениями (12) Уравнения (12) представляют собой уравнения Навье-Стокса, описывающие движение вязкой капельной жидкости. Дифференциальные уравнения вихревого движения жидкости (Громеки) Разделим правую и левую части уравнения Эйлера на плотность жидкости ρ:
Полная скорость частицы, через осевые составляющие определяется по уравнению:
Частные производные от обоих частей уравнения (2) по xyz будут:
Вычитая из обеих частей уравнения Эйлера (1) равенства (3 – поступательное движение) после перегруппировки с выделением элементов вращения, получим
Обозначая
получим
Иногда эти уравнения называют уравнениями Эйлера в форме Громеки.
|