Уравнение Бернулли

Решение уравнений движения Эйлера для установившегося потока приводит к одному из наиболее важных и широко используемых уравнений гидродинамики – уравнению Бернулли

Умножив левые и правые части каждого из уравнений Эйлера, соответственно на dx, dy и dz и разделив на плотность ρ жидкости, получим:

(1)

Сложим эти уравнения, учитывая, что производные , и выражают проекции , , скорости на соответствующие оси координат.

Тогда

(2)

Слагаемые левой части этого уравнения могут быть представлены как

,

и следовательно, их сумма:

(3)

где - величина вектора скорости, составляющие которой вдоль соответствующих осей равны , , .

В тоже время сумма членов, стоящих в скобках в правой части записанного уравнения, представляет собой полный дифференциал давления dp (при установившихся условиях давление зависит лишь от положения точки в пространстве, но в каждой данной точке не меняется со временем.

Значит:

(4)

Разделив обе части этого уравнения на ускорение силы тяжести g и перенося все его члены в левую часть, находим

(5)

причем для несжимаемой однородной жидкости ρ =const.

Сумма дифференциалов может быть заменена дифференциалом суммы, следовательно

(6)

откуда получаем уравнение Бернулли:

, (7)

выражающее Закон сохранения энергии, где: - потенциальная, а - кинетическая энергии.

Здесь z – пьезометрическая высота; p/ρ g – давление; v²/2g - скоростной напор