Давление частиц рв на эту пластинку сверху равно

где K_m — коэффициент подвижности частиц, пропорциональный средней кинетической энергии их хаотического движения; m — объемная доля твердого в пульпе. Давление снизу

а их разность

причем давление действует на объем Δ Sdx и равно:

Градиентная сила, действующая на единицу объема, таким об­разом, равна

. (3)

В нашем примере градиентная сила, стремясь выровнять кон­центрации магнитных зерен вблизи полюса, препятствует процес­су сепарации. В общем случае С (Х, Y, Z), поэтому в дальнейшем изложении будем обозначать просто С_м, имея в виду функцию концентрации магнитной фракции от координат.

Теперь есть основания записать уравнение (3) следующим образом:

откуда легко найти скорость направленного дрейфа частиц

Подставляя найденное значение скорости в выражение закона сохранения вещества (дифференциальная форма записи)

получим уравнение диффузии в силовом поле или уравнение Эйн­штейна- Фоккера-Планка, справедливое только при линейной зависимости силы сопротивления от скорости:

(4)

Пользуясь оператором Гамильтона Ñ можно записать это уравнение короче

, (5)

где D=K_m/a — коэффициент макродиффузии частиц.

В декартовых координатах оператор Ñ можно представить так:

-

По своей математической структуре уравнение (5) аналогич­но первому уравнению Колмогорова. Сравнивая уравнение (5) со вторым законом Фика для диффузии

,

можно убедиться, что основным членом этого уравнения, как пра­вило, является второй член правой части уравнения (1.27), описы­вающий сепарационный процесс, тогда как диффузионный член связан с процессами сепарации и десепарации.

Уравнение (3) получено для ламинарного движения, тогда как практически все процессы сепарации проходят в турбулент­ном режиме.

Принципиальное отличие этого подхода состоит в том, что при выводе этого уравнения предполагалась линейная зависимость си­лы сопротивления среды от скорости движения частиц (закон Стокса), что спра­ведливо только при ламинарном режиме движения и исключает применение этого уравнения для описания турбулентного массо­переноса.

Для компенсации этого противоречия, как известно, одно из общих решений этого уравнения выражается через интеграл вероятности. Для случая про распределения продуктов в зоне разделе­ния О. Н. Тихонов получает это решение в виде: , (6)

где — интеграл вероятности; и — удельные магнитные восприимчивости соответственно частиц и среды в зоне разделения; —функция распределения выходов частиц (можно, их пред­ставить и концентрациями) в зависимости от их удельной магнит­ной восприимчивости.

Можем получить связь между коэффициентом диффузии и параметрами процесса сепарации, необходимую для технологических и конструкторских расчетов. В понятие коэффициента диффу­зии здесь вкладывается реальный физический смысл, поэтому и расчеты на базе разделительных чисел дают более полезные для практики результаты. Так, о В. И. Кармазину и П. И. Пилову

; (7)

где v —скорость сепарационного массопереноса; t_р — время разде­ления; D_t — коэффициент турбулентной диффузии (D_t =0, 0112 ur); u — скорость транс-портирующего массопереноса в рабочем пространстве сепаратора (скорость пульпы); r — радиус кривизны рабо­чей зоны; y₀ — высота рабочей зоны сепаратора.

Пример. Оценить значение разделительных чисел Е (ε) для изучения процес­сов магнитного обогащения обычно проще на наглядном примере, в условиях, приближенных к реальным. Предположим, что в барабанный магнитный сепа­ратор поступает магнетитовая пульпа, содержащая смесь минеральных зерен и их сростков, условно разделенных на четыре категории: зерна чистого маг­нетита содержат 72 % Fe, имеют удельную магнитную восприимчивость χ _м = 8· 10^-4 м³/кг, а плотность ρ _м =4500 кг/м³; богатые сростки с 52, 6% Fe; χ _{м.с .} = 5, 84· 10^-4, ρ _{м.с .}=4000 кг/м³; сростки с 33, 1% Fe, χ _{с .} = 3, 65· 10^-4, ρ _{с .} = 3500 кг/м³ и бедные сростки с 13, 4% Fe χ _{.б.с .} = 1, 52· 10^-4, ρ _{б.с .} —3000 кг/м³. Каждая из этих категорий состава разбита на десять классов, по крупности от 10 до 100 мкм.

Барабанный магнитный сепаратор ПБМ-120/300 имеет коэффициент магнит­ной силы, зависящий от параметров магнитной системы A=HgradH =5, 2∙ 10¹¹ А ²/м; активную длину зоны сепарации l = 0, 8 м и высоту зоны сепара­ции y₀ — 0, 035 м, а пульпа поступает в него со скоростью u = 0, 5 м/с и имеет концентрацию твердой фазы 25 %, коэффициент разрыхления = 0, 936.

Принимая сферическую форму зерен, скорость движения последних опреде­ляем из уравнения динамики сепарации

где Δ — плотность среды; d — диаметр частиц; ψ — коэффициент сопротивления среды.

Скорость движения зерна v к полюсу при неизвестном коэффициенте со­противления среды ψ можно найти по методу П. В. Лященко с использованием формулы, аппроксимирующей диаграмму

. ,

где k — поправочный коэффициент на форму зерен, шероховатость их поверхно­сти, смачиваемость ее водой; — параметр Лященко; А и m — соответственно коэффициент и показатель степени, зависящие от диапазона изменений па­раметра Лященко [42].

Скорость движения магнитных частиц к полюсу (и наоборот) с учетом стесненного движения (по Лященко) запишем в виде

'

Принимая A = 0, 363 и m = 0, 69, выполним необходимые расчеты для частицы магнетита крупностью 50 мкм.

откуда , м/с

Время пребывания пульпы t_p в зоне сепарации составит

с.

Соответственно извлечение частиц этого сорта составит:

Следовательно, зерна магнетита крупностью 50 мкм в данных условиях извлекаются на 100 %. Аналогично рассчитываются разделительные числа для всех остальных классов частиц, (лучше это делать на ПК), (табл. 2.5):. Анализируя результаты расчета, можно отметить, что при дан­ной скорости подачи материала время сепарации завышено и наблюдается разубоживание магнитной фракции бедными срост­ками. Просчитав с помощью ПК все возможные варианты, можно найти оптимальные параметры сепарации для заданного состава продуктов сепарации.

В формулах (1.55) и (1.56) извлечение магнитной фракции неслучайно обозначено Е, а не ε — это извлечение узкого класса с конкретной крупностью и магнитной восприимчивостью. Технолог может делать правильные выводы только на основе достаточно полного множества данных об извлечениях различных по составу и крупности классов исходного материала в конкретных условиях сепарации. Иными словами, информация о поведении в зоне разделения такой сложной системы частиц, как реальная пульпа, может быть представлена совокупностью фракционных извлечений — множеством или разделительных чисел по каждой элементарной категории частиц (классу) с известной магнитной восприимчивостью и крупностью.

Решение аналитических уравнений динамики намного проще, чем дифференциальных уравнений массопереноса, которые обра­зуют математическую модель процесса сепарации только в сово­купности с краевыми условиями (начальными и граничными). Не­которая потеря точности в информативности при проектировании и разработке сепараторов при использовании уравнений динамики для расчета траекторий движения отдельных частиц, а не массопотоков оправдывается именно тем, что и высоту, и длину зоны сепа­рации следует устанавливать по признакам и свойствам частиц одного сорта: самых слабоизвлекаемых частиц магнитоизвлекаемой фракции.

Таблица 1.5

Таким образом, из рассмотренных примеров можно сделать вы­вод о том, что силовой режим разделения минералов определяет размеры рабочего пространства, а последние вместе с уровнем магнитных сил, которые необходимо поддерживать в этом прост­ранстве, определяют общую стоимость сепаратора (включая магнитную систему) и другие технико-экономические параметры и показатели его работы.