Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Теорема Виета
|
|
Теорема 23.1 (теорема Виета). Пусть 
С [ x ], где x1, x2, …, xn – комплексные корни многочлена f(x). Тогда справедливы следующие формулы, называемые формулами Виета:
Доказательство. По основной теореме алгебры 
. Тогда 
. (1)
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях переменной в (1). Найдем 
- коэффициент при 
. Слагаемые в правой части (1), содержащие , будут получаться всякий раз, когда при умножении скобок в правой части (1) в качестве множителей выбирать 
из 
скобок, а из оставшихся 
скобок взять второе слагаемое. При этом получим выражение 
, где 
- произведение из множителей, составленное из элементов x1, x2, …, xn. Сложив все слагаемые, содержащие , и вынеся за скобки, в скобках получим сумму всевозможных произведений из множителей, составленных из элементов x1, x2, …, xn, т. е.
Теорема доказана.
Замечание 23.1. Формулы Виета справедливы для многочленов над любым кольцом, над которым многочлены разлагаются на линейные множители.
24. Приближенные вычисления действительных корней многочлена над R
В 1799 году итальянский математик Руффини доказал (с “пробелом”, не полностью), что всякое алгебраическое уравнение выше 4-ой степени неразрешимо, то есть нельзя найти в общем виде корни уравнения над C выше 4-ой степени. В 1824 году норвежский математик Абель дал полное доказательство неразрешимости алгебраических уравнений выше 4-ой степени. (В алгебре это утверждение известно как теорема Руффини-Абеля). В связи с теоремой Руффини-Абеля на практике возникла потребность отыскания приближенных корней уравнения выше 4-ой степени с действительными коэффициентами.
Краткий обзор
1. Границы корней
На первом этапе важно оценить, в какой интервал попадут действительные корни уравнения.
Пусть 
(1), 
. Тогда
a) 
, где 
.
Эта граница выполнима и для комплекных корней.
b) 
, где 
- индекс первого отрицательного коэффициента
уравнения (1), то есть 
- наибольшая из абсолютных величин всех отрицательных коэффициентов уравнения (1).
Замечание 24.1. Указанные границы a) и б) для действительных корней вовсе не означают, что в этих интервалах существуют действительные корни.
Для подсчета числа корней (действительных) в интервалах, найденных по а) и б), применяется ряд способов. Наиболее удобен из них метод Штурма.
2. Подсчет числа корней в данном интервале
Метод Штурма основан на построении системы многочленов (системы Штурма) и подсчете числа перемен знаков в этой системе.
Пример 24.1. Рассмотрим последовательность: 4, 5, -7, 12, 11, -8, -9, 3, 7, -11, 4. (2)
Выпишем последовательность знаков, соответствующую данной последовательности:
++, -, ++, -, -, ++, -, +.
Тогда последовательности (2) соответствует 6 перемен знаков.
Рассмотрим многочлен 
. Полагаем, что
. Тогда по теореме о делении с остатком существуют единственные 
такие, что 
.
Полагаем 
.
Продолжая этот процесс, получим:
, где 
.
В результате получим систему многочленов 
(3), которая называется системой Штурма для многочлена 
.
Теорема 24.1 (теорема Штурма). Пусть многочлен 
в интервале 
не имеет кратных действительных корней (то есть 
), причем 
, то есть концы интервала не являются корнями 
. Тогда в интервале многочлен имеет 
действительных корней, где 
- число перемен знаков в системе Штурма (3) при 
, то есть в последовательности 
.
3. Вычисление корней
Приближенные вычисления корней действительных функций действительного переменного излагаются в курсе математического анализа. К основным методам относятся:
a) метод деления отрезка пополам;
b) метод хорд;
c) метод касательных.