Алгебраическое уравнение 4-й степени. Метод Феррари.

Алгебраическое уравнение 4-й степени имеет вид: (1), где ℂ, . Изложим один из методов решения уравнения (1), называемый методом Феррари.

Перепишем уравнение (1) в виде: (2). Выделим в левой части (2) полный квадрат, считая, что дан квадрат первого слагаемого и удвоенное произведение первого слагаемого на второе: (3).

В уравнении (3) вводим переменную y таким образом, чтобы левая часть (3) превратилась в полный квадрат, считая, что дан квадрат первого слагаемого:

(4).

Переменную y выбираем так, чтобы правая часть (4) была полным квадратом и имела вид . В этом случае дискриминант D=b²-4ac=0, т.е. (5).

Уравнение (5) называется кубической резольвентой для уравнения (1). Решая уравнение (5), найдем одно из значений y₀ переменной y. Подставим y₀ в (4). При этом, правая часть (4) превратится в полный квадрат, и уравнение (4) примет вид:

или .

Решая каждое из полученных квадратных уравнений, получим все 4 корня уравнения (1).

17. Многочлены над полем С. Алгебраически замкнутое поле.