Формальная производная многочлена

Определение 12.1. Пусть F –поле, f(x) F ,

f(x)= . Многочлен вида называется формальной производной многочлена f (x)и обозначается (x).

Нетрудно проверить, что формальная производная многочлена удовлетворяет следующим свойствам:

1) (f +g) =f + g ;

2) (f·g) =f ·g + f ·g ;

3) (k·f) =k·f ;

4) () =m· .

Замечание 12.1. Если степень f (x)равна n, то отсюда еще не следует, что степень f' (x) =n –1. Например, пусть F= { }, f (x) = , deg f= 2. Тогда f' (x) = , т.е. deg f' (x) = 0. Если же в качестве F выбирается поле характеристики 0(Сhar F= 0), то из того, что deg f=n, всегда будет следовать, что deg f'=n –1. Напомним, что поле F называется полем характеристики 0, если где e – единичный элемент F. Полями нулевой характеристики являются все бесконечные поля (например, ). В дальнейшем будем рассматривать только поля нулевой характеристики.

Найдем значение многочлена f (x) и всех его производных в точке c F, т.е. найдем f (c), f (c), f (c) = (f (c)) и т.д. Для этого запишем разложение многочлена f (x)по степеням (x – c):

(*) f (x) = f(c) = ,

f (x) = f (x) = ,

(x) = f''(x) = 2 .

Аналогично, (c)=3·2·1· , (c)=4·3·2·1 · и т.д.

Таким образом, ! · k= (1).

Замечание 12.1. Подставим в формулу (*) вместо соответствующие выражения из (1): f(x)= –формула Тейлора.