Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Теорема Безу. Корни многочлена.
|
|
Определение 5.1. Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f (x) =a 0 +a 1 x+…+anxn 
K [ x ](т.е. f (x) = 
), c K. Элемент а 0 +а 1 с+а 2 с 2 +…+аncn K называется значением многочлена f (x) в точке с (на элементе с) и обозначается f (c), то есть f (c) = 
.
Теорема 5.1 (теорема Безу). Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f (x) K [ x ], c K. Тогда существует q (x) K [ x ]: f (x) = (x – c) q (x) +f (c).
Доказательство. Пусть f (x) = a 0 +a 1 x+…+anxn K [ x ] 
f (c) = a 0 +a 1 c+…+ancn
f (x) –f (c) = a 1(x – c) +a 2(x 2– c 2) +a 3(x 3– c 3) +…+an (xn – cn) =
= (x–c)(a 1 +a 2(x+c) +a 3(x 2 +xc+c 2) +…+an (xn -1 +xn -2 c+…+cn- 1)).
Таким образом,
f (x)– f (c) = (x – c) q (x), где q (x) =a 1 +a 2(x+c) +a 3(x 2 +xc+c 2) +…+an (xn- 1 +xn- 2 c+…+cn- 1) f (x) = (x – c) q (x) +f (c). Теорема доказана.
Определение 5.2. Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f (x) K [ x ]. Элемент с K называется корнем многочлена f (x), если f (c) = 0.
Следствие 5.1.1. Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей,
f (x) K [ x ], c K. Тогда с – корень f (x) 
f (x) делится на (x – c).
Доказательство. Пусть c – корень f (x) f (с) = 0 f (x) = (x – c) q (x), где q (x) K [ x ] f (x) делится на (x – c). Следствие доказано.
Следствие 5.1.2. При делении многочлена f (x) на (x – c) получается остаток r, равный f (c).