Степень многочлена. Свойства степени многочлена

Определение 3.1. Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, (). Число n называется степенью многочлена f и обозначается deg f, т.е. deg f =n, т.е. степень многочлена – это степень переменной при старшем коэффициенте.

Определение 3.2. Нулевым многочленом называется многочлен, все коэффициенты которого равны 0, и обозначается 0. По определению полагают, что степень нулевого многочлена равна , т.е. deg 0 . Таким образом, если , то

deg (deg N {0}).

Теорема 3.1. Пусть K – ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , . Тогда:

1) deg( + max { deg , deg };

2) deg ( · ) deg + deg .

Доказательство.

Пусть , . Пусть, например, m n. Тогда:

1) f+g =

deg (f +g) max { deg f, deg g }.

2) =

deg () n+m=deg f + deg g (если и – делители нуля, то deg fg < m+n).

Теорема доказана.

Следствие 3.1.1. Пусть K – область целостности. Тогда deg () = deg f + degg, f, g .