Неприводимые над полем многочлены и их простейшие свойства

Определение 13.1. Многочлен f (x) положительной степени над полем F называется неприводимым над , если он не допускает представления в виде произведения двух многочленов над полем меньшей степени.

Определение 13.2. Многочлен f (x) положительной степени над полем F называется приводимым над F, если он допускает представление в виде произведения двух многочленов над полем меньшей степени.

Примеры 13.1.

1) f (x) = x + 1 – неприводим над Q, R, C.

2) f (x) = x ² + 1 = (x – i)(x + i) – приводим над C, неприводим над R, Q.

3) f (x) = x ⁴ + 1 = x ⁴ + 2 x ² + 1 – 2 x ² = (x ² + 1 – x)(x ² + 1 + x)– приводим над R, C.

Простейшие свойства неприводимых многочленов

Лемма 13.1. Многочлен первой степени неприводим над любым полем.

Доказательство. Пусть F – поле, f (x) F [ x ], deg f (x) = 1. Докажем, что f (x)неприводим над F. Допустим, что f (x)приводимнад F f (x) =f ₁(x) , где f ₁(x), , причем deg f ₁(x) < deg f deg f ₁(x) < 1ианалогично, deg < 1 degf ₁(x) = 0и deg = 0 deg f = deg deg f ₁ + deg f ₂ = 0. Противоречие. Допущение неверно f (x)неприводим над F. Лемма доказана.

Лемма 13.2. Пусть F – поле, – неприводимые над F многочлены. Если , то ~ .

Доказательство. Пусть . Покажем, что ~ . Дляэтого достаточно показать, что . Так как q(x) F [ x ]: (1) возможны 2 варианта: deg p ₂ = 0и deg q = deg p ₁или deg p ₂ = deg p ₁ и deg q = 0.

а) Пусть deg p ₂ = 0и deg q = deg p ₁ p ₂неудовлетворяет определению 13.1. Противоречие. Следовательно, вариант а) невозможен.

б) Пусть deg p ₂ = deg p ₁ и deg q = 0 q (x) = . Подставим вместо q в (1) a ₀: . Таким образом, ~ . Лемма доказана.

Замечание 13.1. Пусть F – поле. Тогда F – область целостности F [ x ] – область целостности все элементы области целостности подразделяются на 4 вида:

F [ x ] =

Замечание 13.2. Поскольку НОД и НОК многочленов определяются однозначно с точностью до ассоциированности, то многочлены f и g являются взаимно простыми (f, g) = F^*.

Замечание 13.3. Пусть p(x) –неприводимый над F многочлен. Если p (x) q (x), то либо q (x) F^#, либо q (x) ~ p (x).

Лемма 13.3. Пусть F – поле, f (x) F [ x ], p (x) – неприводимый над F многочлен. Тогда f p f и p взаимно просты.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть f p. Покажем, что (f, g) a ₀ F^#. Пусть (f, p) = d (x) либо а) d F^#, либо б) d ~ p. Допустим, что выполняется б) d ~ p d p Противоречие. Допущение неверно выполняется а), то есть d (f, p) = a f и p взаимно просты.

2) Достаточность. Пусть f и p взаимно просты (f, p)= 1 1 = (1). Допустим, что f p. Тогда из (1) 1 p p не удовлетворяет определению 13.1. Противоречие f p. Лемма доказана.

Лемма 13.4. Пусть F – поле, f ₁(x), …, f_n (x) F [ x ], p (x) – неприводимый над F многочлен. Если () p (x), то хотя бы 1 из множителей f ₁, f ₂, …, f_n делится на p (x), то есть i,

Доказательство проводится методом математической индукции.