Алгебраическое уравнение 3-й степени. Формулы Кардано.

Определение 15.1. Алгебраическим уравнением n-й степени называется уравнение вида (1), где ℂ, .

Так как в (1), то существует, и значит, умножая обе части (1) на , можем считать, что старший коэффициент уравнения (1) равен 1, т.е. алгебраическое уравнение n- й степени можем рассматривать в виде (2).

К уравнению (2) применим подстановку (3). Воспользуемся формулой бинома Ньютона . Тогда

,

и т.д. Подставляя в (2) вместо его значение и возводя в степень, получим

. Таким образом, из уравнения (2) получим уравнение вида (2'), где ℂ, , т.е. подстановка (3) позволяет в уравнении (2) избавляться от переменной .

Поэтому можем считать, что алгебраическое уравнение 3-й степени имеет вид: (4). Для нахождения корней уравнения (4) введем две новых переменных и , а именно, полагаем: . С учетом данной подстановки, уравнение (4) примет вид:

(5).

Выбираем и так, чтобы . Тогда (5) можно записать в виде:

(6).

Покажем, что каждому решению уравнения (4) соответствует некоторое решение системы (6), и наоборот, каждому решению системы (6) соответствует некоторое решение уравнения (4).

1) Пусть - решение системы (6). Тогда, подставляя в (4) и проводя преобразования, придем к (5), и учитывая, что - решение системы (6), получим, что - решение системы (5), а значит, - решение уравнения (4).

2) Пусть - решение уравнения (4). Покажем, что существует пара , являющаяся решением системы (6), такая что . Для этого рассмотрим уравнение . По формулам Виета данное уравнение имеет корни и такие, что . Отсюда следует, что решение представимо в виде суммы , причем и удовлетворяют второму уравнению из (6). Так как - корень уравнения (4), то подставляя в (4), получим, что второе слагаемое в (5) равно 0, так как . Отсюда получаем, что и удовлетворяют первому уравнению из (6). Таким образом, каждому решению уравнения (4) соответствует решение системы (6), такое что .

Из 1) и 2) следует, что для нахождения решений уравнения (4) достаточно найти решения системы (6).

Рассмотрим подробно систему (6). Из системы (6) следует система (7). Система (7) является следствием системы (6), т.е. каждое решение системы (6) является решением системы (7) (обратное неверно). Поэтому для нахождения решений системы (6), найдем все решения системы (7), а затем из них выберем те , для которых .

Согласно теореме Виета, из (7) следует, что и являются корнями квадратного уравнения . Данное уравнение называется разрешающим уравнением или резольвентой для уравнения (4). Решая это уравнение, получим . Обозначим . Тогда , . Таким образом, , . Напомним, что корень кубический из комплексного числа имеет три значения. Поэтому комбинируя каждое значение (их три) с каждым значением , получим 9 решений системы (7). Из них системе (6), а значит, и уравнению (4), удовлетворяют те пары , для которых . Следовательно, имеем: = + (10). Формула (10) называется формулой Кардано.

На практике при решении уравнений 3-й степени удобно использовать следующие формулы, называемые рабочими формулами:

(11),

где - одно из значений корня , - одно из значений корня .

Замечание 15.1. Формулы (11) нетрудно получить из (10), используя тот факт, что все значения корня n- й степени из комплексного числа z можно получить, умножая одно из этих значений на значения корня n- й степени из единицы.

Замечание 15.2. Если , то будем, наряду с формулами (11), использовать следующие формулы: (12).

Замечание 15.3. Пусть в уравнении (4) все коэффициенты являются действительными числами. Тогда если , то уравнение (4) имеет 3 различных действительных корня; если , то уравнение (4) имеет 3 действительных корня и, по крайней мере, 2 из них равные; если , то уравнение (4) имеет 1 действительный и пару комплексно сопряженных корней.

Алгоритм решения алгебраического уравнения 3-й степени

1. Привести уравнение к нормированному, т.е. к уравнению вида .

2. С помощью подстановки избавиться от слагаемого, содержащего переменную во второй степени, т.е. получить уравнение вида .

3. Вычислить по формуле .

4. Записать формулу Кардано для y: y = + .

5. Найти - одно из значений корня и

- одно из значений корня .

6. Воспользоваться рабочими формулами:

.

7. Записать ответ: .