Кольцо многочленов над факториальным кольцом

Напомним, что область целостности K называется факториальным кольцом, если любой ненулевой необратимый элемент кольца K допускает представление в виде произведения конечного числа простых элементов кольца K, причем такое представление единственно с точностью до порядка следования множителей и ассоциированности.

Замечание 21.1. Если K – факториальное кольцо, то K [ x ] – также факториальное кольцо.

Определение 21.1. Пусть K – факториальное кольцо. Многочлен f(x) K [ x ] называется примитивным, если НОД всех его коэффициентов равен 1.

Например, f(x) =2х +5х-3 - примитивный многочлен.

Свойства примитивных многочленов

Лемма 21.1 (лемма Гаусса). Пусть K – факториальное кольцо, f₁(x), f₂(x) – примитивные многочлены из K [ x ], f = f₁·f₂. Тогда f(х) – примитивный многочлен из K [ x ].

Лемма 21.2. Пусть K – факториальное кольцо, f(х) K [ x ], degf> 0. Тогда f(x)=aq(x), где а K , q(x) – примитивный многочлен из K [ x ].

Лемма 21.3. Пусть K – факториальное кольцо, F – поле частных кольца K, f(x) F [ x ], degf> 0 f(x)=aq(x), где а F , q(x) – примитивный многочлен из K [ x ].

Лемма 21.4. Пусть K – факториальное кольцо, F – поле частных кольца K, f₁(x), f₂(x) – примитивные многочлены из K [ x ]. Если f₁(x) и f₂(x) ассоциированы в F [ x ], то f₁(x) и f₂(x) ассоциированы в K [ x ].

Теорема 21.1. Пусть K – факториальное кольцо, F – поле частных кольца K, f(x) K [ x ], degf> 0. Если f(x) неприводим над K, то f(x) неприводим над F.

Доказательство. Допустим, что f(x) приводим над F f(х) = f₁(x)·f₂(x) (1), где f₁(x), f₂(x) F [ x ], 0 < degf_i< degf, i = f₁(х)=а q (x), f₂(х)=а₂q₂(x), где а , а F , q , q - примитивные многочлены из K[x] q ·q - примитивный многочлен из K [ x ] f(x) = а а q q , где а а =а F [ x ] , где q(x) - примитивный многочлен из K [ x ]. С другой стороны, по лемме 21.2 f(x)=b·h(x) (3), где b K , т.е. b F , h(x) – примитивный многочлен из K [ x ].

Из (2) и (3) а·q(x)=bh(x) q(x)=а bh(x) q h; h(x)=b а q(x) h q. Следовательно, q ~ h в F [ x ] q ~ h в K [ x ] h(х)=сq(x) h(x)=сq (x)q (x) f(х)=(bcq (x))q (x)=q (x)q (x), где q (x) K [ x ], q (x) K [ x ], deg q (x) = deg q (x) = deg f₁(x)< deg f deg q = deg f₂< deg f f(х) - приводимый над K многочлен, что невозможно. Следовательно, f(х) - неприводимый над F многочлен. Теорема доказана.

Следствие 21.1.1. Пусть f(x) Z [ x ], deg f> 0. Если f(x) неприводим над Z, то f(х) неприводим над Q.