Многочлены над полем рациональных чисел

Теорема 19.1. Пусть ∈ Z [ x ], , - несократимая рациональная дробь. Если - корень f(x), то q, p.

Доказательство. Так как - корень f(x), то f()=0, то есть (1).

Так как 0 , то q . Так как 0 , то p . Теорема доказана.

Следствие 19.1.1. Рациональные корни нормированного многочлена с целыми коэффициентами являются его целыми корнями.

Следствие 19.1.2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного числа.

Общий необходимый признак существования рационального корня многочлена

Теорема 20.1. Пусть ∈ Z [ x ], , - несократимая рациональная дробь. Если - корень f(x), то , .

Доказательство. Пусть - корень f(x) Пусть . По теореме Безу f(x)=(x-c)q(x)+f(c) (1). Пусть q(x)=

.

Покажем, что . Допустим, что (q, p-cq)=d > 1 - противоречие . Теорема доказана.

Следствие 20.1.1. Пусть f(x) Z [ x ], - несократимая рациональная дробь. Если - корень f(x), то .