Основная теорема алгебры.

Определение 17.1. Множество М называется числовым, если М С.

Определение 17.2. Поле F называется числовым, если оно является числовым множеством, F C.

Основными числовыми полями являются Q, R, C. Рассмотрим многочлены над полем C.

Определение 17.3. Поле F называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени под полем F имеет хотя бы один корень, принадлежащий полю F.

Теорема 17.1. Поле F является алгебраически замкнутым любой многочлен положительной степени над полем F разлагается на линейные множители над F.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть F - алгебраически замкнутое поле, f(x)=a x + a x +...+a F [ x ], a ≠ 0, degf > 0. Покажем, что f(x) разлагается на линейные множители над полем F. Так как f(x) F [ x ] и F - алгебраически замкнутое поле существует a F, a - корень f(x) f (x) = (x - a) · f ₁ (x), где f ₁ (x) F [ x ]. Если deg f (x) =0 f = b F \{0} f (x) = (x - a) · b = b x – b a - искомое разложение.

Пусть deg f ₁ (x) ≠ 0 существует c F, c - корень f₁(x) f₁(x)=(x - c )· f₂(x), где f ₂ (x) F [ x ]. Продолжая данный процесс, через конечное число шагов получим:

f(x)=(x-c )·(x-c )·…·(x-c )· f_n, где f_n F [ x ]. Так как deg f = n f_n = a

f (x)=a (x-c )·(x-c )·...·(x-с ) (1) - искомое разложение.

2. Достаточность. Пусть для f(x) выполняется (1) c - корень f(x), причем c F F является алгебраически замкнутым полем. Теорема доказана.

Основная теорема алгебры устанавливает существование алгебраически замкнутых полей.

Теорема 17.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен положительной степени над полем C имеет хотя бы один комплексный корень.

Следствие 17.2.1. Поле C является алгебраически замкнутым.

Следствие 17.2.2. Любой многочлен положительной степени над полем C разлагается на линейные множители над полем C.

Следствие 17.2.3. Неприводимыми над полем C являются лишь многочлены 1 -й степени.

18. Многочлены над полем R. Разложение многочленов над R

в произведение неприводимых над R множителей

Лемма 18.1. Пусть f (x) = a · x + … + a R [ x ], c=a+bi - корень f(x), где a, b R, b≠ 0. Тогда =a – bi также является корнем многочлена f(x).

Доказательство. Пусть = a+bi - корень f(x) f(с)=0. Покажем что – корень f(x). Для этого найдем f ():

f () = a · ( ) + a · () + … + a · +a = a · + a ·()+ … + … + =

· + ·()+… + = + +… + = = = 0, т.е. f () = 0 – корень f(x). Лемма доказана.

Теорема 18.1. Неприводимыми над полем R многочленами являются лишь многочлены 1 -й степени и 2 -й степени, не имеющие действительных корней, т.е. имеющие пару комплексно сопряженных корней.

Доказательство. Пусть f(x) – многочлен над полем R, deg f 3.Покажем, что f(x) приводим над R. Так как f R [ x ] и R C f C [ x ] f(x) имеет хотя бы 1 комплексный корень. Пусть c – корень f, c С. Если c R f (x)=(x-c)·q(x), где q(x) R [ x ] f приводим над R. Пусть c R c=a+bi, где a, b R, b ≠ 0 по лемме 18.1 c=a-bi - корень f(x). Из того, что c и – корни f(x) f(x) (x–c) и f(x) (x- ) f(x) ((x–c)·(x– )). Рассмотрим h(x)=(x-c)·(x- )=x -x(c+ )+c· =x – 2 ax+(a +b ) h(x) R [ x ]. Таким образом, f(x) h(x) в R [ x ] f(x)=h(x)·q(x) f (x) приводим над R. Теорема доказана.

Следствие 18.1.1. Всякий многочлен f(x)положительной степени над полем R представим в виде f(x)=a (x-c )·…·(x-c )·(x +p x+q )·…·(x +p x+q ), где a , с₁, …, c , p , …, p , q , …, q R, D =p -4q < 0, i= , причем такое представление единственно с точностью до порядка следования множителей.

Следствие 18.1.2. Всякий многочлен нечетной степени над полем R имеет хотя бы один действительный корень.