Алгебраическое и функциональное равенство многочленов

Определение 7.1. Пусть , , где K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочлены f и g называются алгебраически равными, если .

Определение 7.2. Многочлены f и g из называются функционально равными, если , т.е. значения многочленов f и g в любой точке кольца K совпадают.

Теорема 7.1. Пусть K – бесконечная область целостности, . Многочлены f и g алгебраически равны f и g равны функционально.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть , – многочлены, равные алгебраически = f и g равны функционально.

2. Достаточность. Пусть f и g равны функционально, т.е. . Рассмотрим многочлен . Покажем, что h (x)=0. Так как , то с – корень многочлена . Это означает, что многочлен h имеет бесконечное множество корней. С другой стороны, f и g равны алгебраически. Теорема доказана.