Делимость в кольце многочленов. Свойства отношения делимости.

Теорема 4.1. Если K – область целостности, то K [ х ] – область целостности.

Доказательство. Пусть K – область целостности.Покажем, что K [ х ]– область целостности. Допустим, что f (x), g (x) , . С другой стороны, deg (f·g) – противоречие. Следовательно, в K [ х ] нет делителей 0 K [ х ] – область целостности. Теорема доказана.

Теорема 4.2. Пусть K – область целостности для K [ х ] существует поле частных.

Определение 4.1. Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен , если f(x)=g(x) и обозначается или .

Простейшие свойства отношения делимости в K [ x ]

1) рефлексивность ;

2) транзитивность и ;

3) и ;

4) ;

5) .

В общем случае делимость в произвольных кольцах не обязана быть однозначной, т.е. возможно, что a: b= c и a = b , a = b , где ≠ . Делимость однозначна в области целостности.

Свойства делимости в области целостности

Отметим, что если K – область целостности, то по теореме 4.1 K [ x ] – область целостности.

Теорема 4.3. Пусть K – область целостности. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Пусть . Если и , то .

2. Пусть , . Если то

3. Пусть Тогда f~g : f =g и g = f .