Ассоциативно-коммутативного кольца с единицей

Раздел I. Многочлены от одной переменной

Простое трансцендентное расширение

ассоциативно-коммутативного кольца с единицей

Определение 1.1. Пусть K и L – ассоциативно-коммутативные кольца с единицами. Кольцо L называется простым расширением кольца K с помощью элемента u∈ L, если выполняются следующие условия:

1) K – подкольцо кольца L;

2) ,

и записывают .

Определение 1.2. Простое расширение называется простым трансцендентным расширением кольца K, если выполняется следующее условие:

из равенства следует, что . Элемент u в этом случае называется трансцендентным элементом над K (относительно K).

Лемма 1.1. Пусть – простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца K с единицей, . Если

и

, то n=m и .

Доказательство. Пусть, например, n m. Тогда можем считать, что . Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим: . Так как u – трансцендентный элемент над K, то из (3) получаем . Поэтому . Лемма доказана.

Лемма 1.2. Пусть и – простые трансцендентные расширения ассоциативно-коммутативных колец K и K ₁ с единицами. Если K≅ K ₁ и φ – изоморфизм K на K ₁, то ≅ , причем существует единственный изоморфизм ψ кольца на , который переводит элемент u в элемент v (т.е. ψ (u)=v) и продолжает изоморфизм φ.

Следствие 1.2.1. Пусть и – простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца K с единицей. Тогда ≅ .