Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Кольцо многочленов от одной неизвестной
|
|
Лемма 2.1. Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, L= {(a 0, a 1, a 2, …, ak, …) | ai 
K, i= 
и лишь конечное число ai 
0 }. Тогда множество L является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей e= (1, 0, 0, …, 0, …) относительно операций, заданных по правилу:
1) (a 0, a 1, a 2, …, ak, …) + (b 0, b 1, b 2, …, bk, …)= (a 0 +b 0, a 1 +b 1, a 2 +b 2, …)(1);
2) (a 0, a 1, a 2, …, ak, …)·(b 0, b 1, b 2, …, bk, …)=(d 0, d 1, d 2, …), где d 0 =a 0 +b 0, d 1 =a 0 b 1 +a 1 b 0, d 2 = a 0 b 2 +a 1 b 1 +a 2 b 0, и т.д., dk= 
(2).
Доказательство. Так как, например, (1, 0, 0, …, 0, …) L, то L ∅. Операции сложения и умножения являются алгебраическими на L в силу их задания.
1) Поскольку сложение элементов из L сводится к сложению элементов из K, а K – кольцо, то сложение ассоциативно и коммутативно на L.
2) 
, причём 
: 
и 
.
3) 
, причём 
.
Из 1)-4) 
L – аддитивная абелева группа.
Покажем, что в L выполняются дистрибутивные законы. Пусть a=(a 0, a 1, a 2, …, ak, …), b=(b 0, b 1, …, bk, …), c=(c 0, c 1, …, ck, …) 
. Покажем, что 
. Действительно,
Аналогично доказывается левый дистрибутивный закон. Следовательно, L – кольцо. Покажем, что L – ассоциативное кольцо. Пусть a, b, c L. Покажем, что (ab)c=a(bc). Действительно,
;
.
Покажем, что L – коммутативное кольцо. Из (
) операция умножения коммутативна на L.
Покажем, что L – кольцо с единицей. Действительно, 
, причём 
. Таким образом, мы доказали, что L – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Лемма доказана.
Теорема 2.1. Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда для K существуют простые трансцендентные расширения, причём любые 2 из них изоморфны.
Доказательство. Пусть 
и лишь конечное число 
– ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Покажем, что L удовлетворяет определениям 1.1 и 1.2.
1) Покажем, что K – подкольцо в L. Последовательности вида (k, 0, 0, …) ведут себя при сложении и умножении так же, как и соответствующие им элементы из K, а именно:
(k 1, 0, 0, …)+ (k 2, 0, 0, …)= (k 1+ k 2, 0, 0, …);
(k 1, 0, 0, …) (k 2, 0, 0, …)= (k 1 k 2, 0, 0, …).
Поэтому последовательность вида (k, 0, 0, …) можно отождествить с элементом k K, т.е.
.
2) Пусть 
. Методом математической индукции можно доказать, что 
. Тогда
(0, 0, …, 0, ak, 0, …)=(ak, 0, 0, …) ·(
, 
N 
условие 2) из определения 1.1 выполняется.
3) Пусть 
a 0=0, a 1=0, …, an =0.
Из 1)-3) L – простое трансцендентное расширение кольца K. Кроме того, по следствию 1.2.1 любые два простые трансцендентные расширения кольца K изоморфны. Теорема доказана.
Замечание 2.1. Кольцо L, построенное в лемме 2.1, и являющееся простым трансцендентным расширением кольца K согласно теореме 2.1, называется кольцом многочленов (полиномов) от одной переменной (неизвестной) x над кольцом K и обозначается K [ x ]. При этом 
удовлетворяет определению 1.1 и определению 1.2.
Определение 2.1. Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. 1. Кольцом многочленов над K от переменной x называется ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, удовлетворяющее следующим условиям:
1) K 
K [ x ];
2) 
;
3) 
.
2. Элементы кольца K [ x ] называются многочленами над кольцом K от переменной x и обозначаются 
, 
и др.
3. Пусть, 
(an 
по теореме 2.1). Элементы 
называются коэффициентами многочлена , коэффициент an называется старшим коэффициентом, коэффициент a 0 называется свободным или постоянным членом многочлена .