Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Основная теорема о симметрических многочленах
|
|
Теорема 32.1 (основная теорема о симметрических многочленах). Всякий симметрический многочлен над областью целостности K от переменных х1, …, хn допускает представление в виде многочлена над K от элементарных симметрических многочленов, причем такое представление единственно.
Доказательство. І. Существование. Пусть f(х1, …, хn) – симметрический многочлен над K. Если f =0, то f представим в виде нулевого многочлена от σ 1, …, σ n, т.е. f=0(σ 1, …, σ n) – искомое представление.
Пусть f ≠ 0 и 
– высший член f => по лемме 31.1 u совпадает с высшим членом многочлена g=aσ 1k1-k2…σ nkn. Пусть f1 = f – g и u1 - высший член f1, u1=bх1l1…хnln. Если f1 = 0, то f – g = 0 => f = g – искомое представление.Пусть f1 ≠ 0 => по лемме 31.1 u1 совпадает с высшим членом многочлена g1 = bσ 1l1-l2…σ nln. Кроме того, u> u1. Пусть f2=f1-g1 и u2 – высший член f2. Если f2 = 0, то f1 = g1 => f – g = g1 => f = g + g1 = aσ 1k1-k2…σ nkn + bσ 1l1-l2…σ nln – искомое представление. Пусть f2 ≠ 0 => по лемме 31.1 u2 совпадает с высшим членом g2. Отметим, что u1> u2. Продолжая данный процесс, получим последовательность многочленов f, f1, f2, …, fr, … (1), высшие члены которых удовлетворяют условию: u> u1> u2> u3> …> ur> … (2).
Покажем, что цепочка (2) является конечной. Пусть ur = cх1m1…хnmn. Этот одночлен однозначно определяется системой показателей (m1, …, mn). Найдем, сколько таких систем показателей (m1, …, mn) можно составить. Так как u> ur, то k1 
m1 . По лемме 30.1 m1 m2 … mn. Таким образом, система показателей (m1, …, mn)удовлетворяет условию k1 m1 m2 … mn (3). Покажем, что условию (3) удовлетворяет конечное число систем (m1, …, mn). Условие (3) заменим условием (4): k1 m1 0, k1 m2 0, …, k1 mn 0. Так как m1 принимает(k1 +1) значение, m2 принимает(k1 +1) значение, …, mn принимает(k1 +1) значение, то условию (4) удовлетворяет (k1 +1) n последовательностей вида (m1, …, mn). Тогда более сильному условию (3) удовлетворяет число последовательностей, не превосходящее числа (k1+ 1) n, т.е. таких последовательностей будет конечное число => цепочка (2) является конечной=> существует номер s, такой, что us ≠ 0, us+1=0 => fs+1=0.
Итак, f – g = f1, f1 – g1 = f2, …, fs – gs = fs+1 => f = g + f1 = g + g1 + g2 + f3 = … = g + g1 + g2+ +…+ gs + fs+1 (где fs+1 = 0), т. е. f = aσ 1k1-k2…σ nkn + bσ 1l1-l2…σ nln + …+ dσ 1t1-t2…σ ntn − искомое представление.
ІІ. Единственность. Пусть f(x1, …, xn)=g1(σ 1, …, σ n), f(x1, …xn)=g2(σ 1, …, σ n). Покажем, что g1=g2. Допустим, что g1≠ g2. Пусть g (σ 1, …, σ 2) = g1(σ 1, …, σ n) – g2(σ 1, …, σ n). Так как g1 ≠ g2, то g ≠ 0. Пусть g(σ 1, …, σ 2)=aσ 1k1σ 2k2…σ nkn + bσ 1l1σ 2l2…σ nln+…+cσ 1m1…σ nmn=φ (x1, …, xn) ( так как aσ 1k1σ 2k2…σ nkn = φ a(x1, …, xn), bσ 1l1σ 2l2 …σ nln =φ b(x1, …, xn), cσ 1m1…σ nmn =φ c(x1, …, xn)).
Пусть w=dσ 1h1σ 2h2…σ nhn − произвольный одночлен из g, φ d(x1, …, xn)=w; u=dx1r1x2r2…xnrn – высший член φ d =>
u = dx1h1(x1x2)h2(x1x2x3)h3…(x1…xn)hn= dx1h1+h2+…+hnx2h2+…+hn…xnhn =>
r1 = h1+h2+…+hn
r2 = h2+…+hn
………… (1)
rn – 1 = hn – 1+hn
rn = hn
Из (1)=> системапоказателей (r1, …, rn), однозначно определяется системой (h1, …, hn).
Покажем, что верно и обратное. Из (1) =>
hn = rn
hn-1=rn-1 – rn
………… (2)
h2=r2 – r3
h1=r1 – r2
Из (2) => системапоказателей (h1, …, hn) однозначно определяется системой (r1, …, rn).
Таким образом, между системами показателей (h1, …, hn) и (r1, …, rn) существует взаимно однозначное соответствие. Это означает, что различным слагаемым из g соответствуют различные (неподобные) высшие члены соответствующих им многочленов от переменных x1, …, xn (*).
Пусть v - высший член из высших членов многочленов φ а, φ b, …, φ c, соответствующих слагаемым из g, => при замене σ i соответствующим многочленом от x1, …, xn, i= 
, в g, высший член v не уничтожится согласно утверждению (*) => в многочлене φ (x1, …, xn) имеется ненулевой одночлен v (так как g≠ 0) => φ ≠ 0.
С другой стороны, φ (x1, …, xn)=g(σ 1(x1, …, xn), …, σ n(x1, …, xn))=
= g1(σ 1(x1, …, xn), …, σ n(x1, …, xn))–g2(σ 1(x1, …, x2), …, σ n(x1, …, x2))=
= f(x1, …, xn) – f(x1, …, xn)=0,
т.е. φ (x1, …, xn)=0. Противоречие. Следовательно, g1=g2. Теорема доказана.