Свойства минимального многочлена алгебраического элемента

Определение 36.1. Пусть - расширение поля , - алгебраический элемент над полем . Минимальным многочленом алгебраического элемента над называется нормированный многочлен над полем наименьшей степени, корнем которого является .

Определение 36.2. Степенью алгебраического элемента над полем называется степень его минимального многочлена, и обозначается .

Рассмотрим основные свойства минимального многочлена алгебраического элемента над полем.

Лемма 36.1. Если и - минимальные многочлены алгебраического элемента над полем , то = .

Доказательство. Пусть . Так как и - минимальные многочлены алгебраического элемента над полем , то и - нормированные многочлены и . Рассмотрим многочлен . Поскольку и - нормированные многочлены степени n, то .

Допустим, что . Тогда . Пусть а – старший коэффициент многочлена . Тогда , т.е. Р^♯ . Так как Р – поле, то . Пусть . Тогда - нормированный многочлен, , причем , т.е. - корень многочлена . Это означает, ввиду определений 36.1 и 36.2, что . Противоречие. Следовательно, = . Лемма доказана.

Теорема 36.1. Пусть - расширение поля , - алгебраический элемент над полем , - минимальный многочлен элемента . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Многочлен неприводим над полем .

2. .

3. .

4. является полем.

5. .

Доказательство. Пусть .

1. Предположим, что многочлен приводим над полем . Тогда такие, что и . Поэтому (1). Так как и , то . Поскольку в поле F нет делителей нуля, то либо , либо . Это означает, что . Противоречие. Следовательно, многочлен неприводим над полем .

2. Пусть .

а) Пусть . Покажем, что . Так как - многочлен наименьшей степени, корнем которого является и , то . Применим к многочленам и теорему о делении с остатком: такие, что , где . Если , то из следует, что . Противоречие. Следовательно, . Тогда из получаем, что , и значит, . Таким образом, .

б) Пусть . Тогда .

3. Пусть - главный идеал кольца , порожденный элементом . Тогда по определению главного идеала кольца имеем , где - эпиморфизм кольца на кольцо , рассматриваемый в теореме 35.1. Согласно теореме 35.1, , и значит, .

4. Рассмотрим факторкольцо : , где . Отметим, что .

Так как и - поле, то - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля (см. доказательство теоремы 35.1). Покажем, что любой ненулевой элемент из обратим в . Пусть и . Это означает, что , и значит, многочлен не делится на многочлен . Так как многочлен неприводим над полем , то наибольший общий делитель многочленов и равен 1. По теореме о линейном представлении НОД такие, что . Тогда , где . Следовательно, элемент обратим в . Таким образом, факторкольцо является полем.

5. Так как и - поле, то - поле. Покажем, что . С одной стороны, по лемме 35.1 . С другой стороны, поскольку - поле, содержащее и , то, ввиду определения 35.4, . Таким образом, . Теорема доказана.

Следствие 36.1.1. Пусть - расширение поля , - трансцендентный элемент над полем . Тогда .

Доказательство. Пусть - эпиморфизм кольца на кольцо , описанный в теореме 36.1. Тогда . Так как , то в силу трансцендентности элемента над полем , не существует ни одного многочлена в , корнем которого является . Следовательно, . Тогда . Таким образом, . Следствие доказано.