Примеры задач, неразрешимых в квадратных радикалах (об удвоении объема куба, о трисекции угла, о построении правильного семиугольника)

Задача 39.1 (задача об удвоении объема куба). Дан куб объема . Можно ли построить с помощью циркуля и линейки куб объема ?

Решение. Пусть - длина ребра первого куба, - длина ребра второго куба. Пусть, например, . Тогда . Таким образом, построение второго куба сводится к построению отрезка длины , удовлетворяющей условию , т.е. длина ребра второго куба является корнем уравнения . Воспользуемся следующим утверждением.

Утверждение 39.1. Корни уравнения 3-й степени с рациональными коэффициентами можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда оно разрешимо в квадратных радикалах.

Рациональные корни уравнения (1) находятся среди делителей свободного члена 2: . Проверка показывает, что уравнение (1) не имеет рациональных корней. Следовательно, по теореме 38.1 уравнение (1) неразрешимо в квадратных радикалах. Поэтому, ввиду утверждения 39.1, корни уравнения (1) нельзя построить с помощью циркуля и линейки. Это означает, что отрезок длины не может быть построен с помощью циркуля и линейки. Таким образом, с помощью циркуля и линейки нельзя построить куб, объем которого в 2 раза больше объема данного куба.

Задача 39.2 (задача о трисекции угла). Можно ли с помощью циркуля и линейки разделить плоский угол на 3 равные части?

Решение. Рассмотрим угол , образованный двумя лучами, выходящими из точки О.

B     O A A1

Проведем окружность с центром в точке О и радиусом, равным 1: . Ясно, что построение угла сводится к построению отрезка , а построение угла сводится к построению отрезка .

Пусть . Установим связь между и . Рассмотрим . По формуле Муавра (2). С другой стороны,

(3). Приравнивая правые части (2) и (3), получим = . Отсюда следует, что

= (4).

Пусть . Так как , то (4) примет вид (5). Пусть . Тогда уравнение (5) примет вид (6). Так уравнение (6) не имеет рациональных корней, то и уравнение (5) также не имеет рациональных корней. Поэтому, ввиду утверждения 39.1, корни уравнения (5) нельзя построить с помощью циркуля и линейки, т.е. отрезок не может быть построен с помощью циркуля и линейки. Следовательно, угол нельзя разделить на 3 равные части с помощью циркуля и линейки.

Задача 39.3 (задача о построении правильного семиугольника). Можно ли с помощью циркуля и линейки построить правильный семиугольник?

Решение. Так как любой правильный n -угольник можно вписать в окружность, то построение правильного семиугольника сводится к делению окружности на 7 равных частей. Рассмотрим уравнение (7). Корни уравнения (7) являются вершинами правильного семиугольника, вписанного в единичную окружность.

Так как , то один из корней уравнения (7) равен 1, а остальные корни удовлетворяют уравнению (8). Разделим обе части уравнения (8) на :

(9).

Пусть . Тогда (9) примет вид (10). Уравнение (10) не имеет рациональных корней, и поэтому оно неразрешимо в квадратных радикалах. Это, ввиду утверждения 1, означает, что корни уравнения (10), а значит, и корни уравнения (9) нельзя построить с помощью циркуля и линейки. Следовательно, с помощью циркуля и линейки нельзя разделить единичную окружность на 7 равных частей.

Замечание 39.1. Гаусс в 1796 году доказал, что правильный n -угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда , где - простое число вида . Например, при , т.е. правильный 17-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки.