Раздел IV. Алгебраические числа. Расширения полей

35. Простое расширение роля. Подкольцо P [ α ] поля P (α).

Эпиморфизм кольца P [ x ] на P [ α ]

Определение 35.1. Поле называется расширением поля , если .

Определение 35.2. Пусть - расширение поля , . Простым расширением поля с помощью элемента называется подполе поля , являющееся пересечением всех подполей из , содержащих поле и элемент , и обозначается . Другими словами, - наименьшее подполе поля , содержащее и .

Определение 35.3. Пусть - расширение поля , . Элемент называется алгебраическим элементом над полем , если является корнем многочлена положительной степени над полем .

Определение 35.4. Пусть - расширение поля , . Элемент называется трансцендентным элементом над полем , если не является корнем ни одного многочлена положительной степени над полем .

Определение 35.5. Простое расширение поля называется простым алгебраическим расширением (простым трансцендентным расширением), если - алгебраический (трансцендентный) элемент над полем .

Множество всех элементов поля разбивается на два класса:

- множество всех алгебраических элементов над полем ,

- множество всех трансцендентных элементов над полем .

Замечание 35.1. Каждый элемент является алгебраическим над полем . В самом деле, является корнем многочлена .

Определение 35.6. Пусть ℂ. Элемент называется алгебраическим числом, если является алгебраическим элементом над полем ℚ.

Лемма 35.1. Пусть - расширение поля , , . Тогда является подкольцом поля .

Доказательство. Применим критерий подкольца.

1. Покажем, что . В самом деле, так как , то .

2. Покажем, что . Пусть . Тогда такой, что . Пусть . Тогда . Так как по определению 35.2 и , то и . Поэтому правая часть равенства () принадлежит , а значит, и . Таким образом, .

3. Пусть . Покажем, что и . В самом деле, так как , то , где . Тогда . Поскольку - кольцо, то , и значит, . Аналогично доказывается, что .

Из 1.-3. по критерию подкольца следует, что - подкольцо поля . Лемма доказана.

Теорема 35.1. Пусть - расширение поля , , - отображение, заданное по правилу . Тогда отображение удовлетворяет следующим условиям:

1. ;

2. - гомоморфизм кольца на кольцо , т.е. - эпиморфизм;

3. ;

4. .

Доказательство. Отметим, что по лемме 35.1 является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей (при имеем ) и без делителей нуля (так как не содержит делителей нуля).

1. Пусть . Тогда . Таким образом, .

2. :

а) ;

б) .

Из а) и б) следует, что - гомоморфизм кольца в кольцо .

Так как такой, что , т.е. такой, что , и значит, . Следовательно, - сюръективное отображение. Тем самым установлено, что - эпиморфизм кольца на кольцо .

3. Используя определение ядра гомоморфизма, имеем

.

4. По основной теореме об эпиморфизме колец справедливо . Теорема доказана.