Условие разрешимости уравнения 3-й степени в квадратных радикалах

Определение 38.1. Расширение P(α) называется квадратическим расширением поля P с помощью элемента α, если α P, но α ² P.

Например, ℚ () – квадратическое расширение поля ℚ с помощью элемента , так как ℚ, но ()² =3 ℚ.

Определение 38.2. Уравнение а x +a x +...+a = 0 (1), где a P, i = , называется разрешимым в квадратных радикалах, если существует цепь полей вида: (2) ¸ где L =L (α ) - квадратическое расширение поля L с помощью элемента α _i, i = , причем все корни уравнения (1) принадлежат полю F=L (k – наименьшее число с таким свойством).

Теорема 38.1. Пусть x³ +ax² +bx+c=0 (3) - уравнение над полем ℚ, т.е. a, b, c ℚ. Уравнение (3) разрешимо в квадратных радикалах оно имеет хотя бы один рациональный корень.

Доказательство. 1.Необходимость. Пусть уравнение (3) разрешимо в квадратных радикалах. Предположим, что x , x , x ℚ, где x , x , x - корни уравнения (3). Так как (3) разрешимо в квадратных радикалах, то по определению 43 существует цепь полей вида (2). Если x , x , x L , то F = L - противоречие хотя бы 1 из корней уравнения (3) не принадлежит L .

Пусть, например, x L , т.е. x L \ L . Рассмотрим L . По определению 46 L =L (α ), где α L , но α ² L . Так как α ² L , то α - корень многочлена f(x) = x ² - α ² L [ x ] α - алгебраический элемент над полем L x = p + qα , где . Если q= 0, то x = p L - противоречие. q ≠ 0.

Покажем, что (p­qα ) - корень уравнения (3). Так как x = p + qα - корень уравнения (3), то (p+qα )³ + a(p+qα ) ² + b(p+qα ) + c =0, то есть

p ³ + 3p ² qα + 3pq ² α ² + q ³ α ² α + ap ² + 2apqα + aq ² α ² + bp + bqα + c =0, или иначе,

(p ³ + 3pq ² α ² + ap ² + aq ² α ² + bp + c) + (3p² q+q³ α ² +2apq+bq)·α =0.

Пусть p³ +3pq² α ² +ap² +aq² α ² +bp+c=A, 3p² q+q³ α ² +2apq+bq=B. Тогда A, B L и A+Bα =0. Так как 0=0+0α , то по теореме 37.1 A=0 и B = 0. Подставим (p-qα ) в (3). Получим A-Bα = 0-0α = 0 (p-qα ) - корень уравнения (3).

Так как (p+qα ) - (p-qα ) = 2qα ≠ 0 x ≠ p-qα . Поскольку x , x , x - все корни уравнения (3), то p-qα = x или p-qα = x . Пусть, например, x = p-qα . Так как по теореме Виета x + x + x =- a, то x =- a - x - x =- a - p - qα - p + qα =- a - 2p x L . Кроме того, x ℚ. Следовательно, существует r, где 0< r ≤ k- 1, такое, что x L , но x L , то есть x L \ L . Проводя аналогичные, как и для x , рассуждения, получим, что x = p ´ + q ´ α и p ´ - q ´ α - корень уравнения (3), не равный x p ´ - q ´ α = x или p ´ - q ´ α = x . Если x = p ´ - q ´ α , то x L L - противоречие. Если x =p'-q'α , то x L L - противоречие. Следовательно, хотя бы один из корней уравнения (3) принадлежит ℚ.

2. Достаточность. Пусть хотя бы один из корней уравнения (3) является рациональным числом. Пусть, например, x ℚ. Тогда по теореме Безу многочлен f(x)=x³ +ax² +bx+c делится на (x­x ), то есть уравнение (3) примет вид: (x­x )(x² +mx+n)=0. Тогда x = = . Пусть α = . Отметим, что m, n ℚ. Таким образом, существует цепь полей вида ℚ = L L = ℚ (α), причем L - квадратическое расширение поля L и x , x , x L . Это по определению 38.2 означает, что уравнение (3) разрешимо в квадратных радикалах. Теорема доказана.

Следствие 38.1.1. Уравнение x³ +ax² +bx+c=0, где a, b, c ℚ, разрешимо в квадратных радикалах многочлен f(x)=x³ +ax² +bx+c приводим над ℚ (т.е. f(x) имеет рациональный корень).