Решение. 2. Подставив в данную функцию, получим функцию одной переменной x

1. Из уравнения связи

2. Подставив в данную функцию, получим функцию одной переменной x

3. Находим

т. е. –6 х + 24 = 0, х = 4.

Тогда

Итак, M (4; 2) – стационарная точка.

4. Так как то в точке M (4; 2) данная функция достигает условного максимума.

5.

Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области (глобальный экстремум)

Множество называется замкнутым, если оно включает все свои граничные точки, т. е. точки, окрестности которых содержат точки как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

Пусть функция z = f (x; y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области или в точках, лежащих на границе области.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в необходимо:

1. Найти стационарные точки функции, принадлежащие и вычислить значения функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x; y) на границах области.

Добавим, что, как правило, граница состоит из совокупности отдельных участков, на каждом из которых задача сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной , где i – номер участка, а t – независимая переменная на этом участке, которая может совпасть с x или y либо быть отдельным параметром.

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Пример 25. Найти глобальный экстремум функции в замкнутой области