Решение. 2. Находим стационарные точки из следующей системы:

1. Построим (рисунок 44).

Рисунок 44

2. Находим стационарные точки из следующей системы:

Откуда х = 1, у = 3. Получим одну стационарную точку М ₁(1; 3), которая лежит в области

Итак,

3. Исследуем данную функцию на границе области состоящей из участков ОВ, ВА, АО. Кроме того, необходимо учесть и концы отрезков, т. е. точки О, В, А:

· Составим уравнения для ОВ: х = 0.

Подставим его в z:

Получили функцию одной переменной, которую исследуем на экстремум.

Находим Следовательно, на ОВ нет стационарных точек.

На концах отрезка ОВ

· Аналогично все точки прямой ВА удовлетворяют уравнению у = 4.

Тогда На ВА нет стационарных точек.

В точке А:

· Уравнение прямой АО имеет вид у = х.

Тогда Тогда

Итак, М ₂(2; 2) – стационарная точка.

На концах отрезка АО значения функции уже найдены.

4. Сравнивая все полученные значения функции z, заключаем, что достигается в точках B (0; 4) и М ₂(2; 2), а – в точках O (0; 0) и A (4; 4).