Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) задана на отрезке [ a; b ]. Разобьем отрезок [ a; b ] на n произвольных частей точками

Точки, разделяющие отрезок [ a; b ] на частичные отрезки длиной будем называть точками разбиения. Выберем в каждом из частичных отрезков [ x_i; x_{i +1}] произвольную точку x _i, i =

Образуем сумму произведений

которую будем называть интегральной суммой для функции f (x) на отрезке [ a; b ]. Геометрический смысл величины s показан на рисун-
ке 47: это сумма площадей прямоугольников с основанием и высотами

Рисунок 47

Обозначим через l длину максимального частичного отрезка данного разбиения отрезка [ a; b ] на частичные отрезки, т. е.

Конечный предел I интегральной суммы s при l ® 0, если он существует, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a; b]:

(1)

Определенный интеграл обозначается при помощи символа

Если определенный интеграл (1) существует, то функция f (x) называется интегрируемой на отрезке [ a; b ], числа а и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.

Связь между определенным и неопределенным интегралами устанавливает формула Ньютона-Лейбница

| =

где F (x) – одна из первообразных для подынтегральной функции f (x).

Пример 1. Найти определенный интеграл

Решение

Находим неопределенный интеграл, полагая C = 0. Имеем

Вычисляем приращение найденной первообразной

| =

Краткая запись: | =

Тест 1. Найти определенный интеграл

1)

2)

3)

4)

5) 43.