Достаточные условия экстремума

Пусть в стационарной точке (x ₀; y ₀) и некоторой ее окрестности функция z = f (x; y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (x ₀; y ₀) значения

Обозначим:

Тогда:

1) если D > 0, то функция z = f (x; y) в точке (x ₀; y ₀) имеет экстремум:

· локальный максимум, если А < 0(или С < 0);

· локальный минимум, если А > 0(или С > 0);

2) если D < 0, то функция z = f (x; y) в точке (x ₀; y ₀) экстремума не имеет;

3) если D = 0, то экстремум в точке (x ₀; y ₀) может быть, может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на локальный экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные производные функции и

2. Решить систему уравнений и найти стационарные точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой стационарной точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример 23. Исследовать на экстремум функцию

Решение

1. Находим частные производные

2. Находим стационарные точки функции из системы

Итак, (0; 2) – единственная стационарная точка.

3. Находим частные производные второго порядка

Имеем

Так как D > 0, функция имеет экстремум, причем A = 2 > 0, следовательно, это локальный минимум.

4. Находим минимум функции

Тест 14. Пусть то функция f (x; y) в точке M (x; y) имеет локальный максимум, если:

1)

2)

3)

4)

5)