Решение. Требуется установить зависимость между этими величинами и определить параметры эмпирической формулы

Требуется установить зависимость между этими величинами и определить параметры эмпирической формулы. Если принять пары значений (x_i; y_i) за координаты точек в декартовой системе координат, то на чертеже (рисунок 45) видно, что точки располагаются приблизительно на одной прямой, уравнение которой может быть записано в виде y = ax + b.

Рисунок 45

Определив a и b с помощью системы (5), найдем линейную зависимость y = ax + b между величинами x и y.

Подсчитаем необходимые суммы, используя таблицу 3.

Таблица 3

В последней строке таблицы записаны коэффициенты системы уравнений (5), которая принимает вид

Решая эту систему, находим а = –0, 5, b = 4, 5. Требуемая зависимость имеет вид

Тест 15. Установить вид функции y = f (x) (рисунок 46)

Рисунок 46

по характеру расположения на координатной плоскости экспериментальных точек:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 16. Метод наименьших квадратов позволяет находить:

1) вид функции двух переменных;

2) градиент функции двух переменных;

3) экстремум функции;

4) параметры эмпирических формул;

5) частные производные функции нескольких переменных.

Ответы на тестовые задания

2.8. Первообразная и неопределенный интеграл

Множество вопросов математического анализа и приложений в разнообразных науках приводят к задаче отыскания для данной функции f (x) такой функции F (x), производная которой равна f (x).

Определение. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной по отношению к функции f (x) на некотором интервале
(а; b), если при F ¢ (x) = f (x).

Определение. Общее выражение F (x) + C множества всех первообразных функций для данной функции f (x) называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается т. е. где f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx – подынтегральное выражение, – знак неопределенного интеграла, х – переменная интегрирования.

Операция нахождения первообразной по ее производной или неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию.

Основные свойства неопределенного интеграла следующие:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла, т. е.

3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен соответствующей алгебраической сумме от функций-слагаемых, т. е.

Таблица неопределенных интегралов включает следующие формулы:

1) (

2) | x | + C;

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Приведенные выше интегралы принято называть табличными.

Как известно, операция дифференцирования не выводит функцию из класса элементарных. С операцией интегрирования обстоит иначе: первообразные от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Укажем некоторые из них:

· – интеграл Пуассона (интеграл ошибок);

· – интеграл Френеля;

· – интеграл Френеля;

· – интегральный логарифм;

· – интегральный синус;

· – интегральный косинус.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл

Решение

По формуле 1 таблицы неопределенных интегралов имеем

Тест 1. Найти неопределенный интеграл

1)

2)

3)

4)

5)

Пример 2. Найти неопределенный интеграл

Решение

По свойствам 2 и 3 неопределенного интеграла и таблице неопределенных интегралов имеем

+
+

Тест 2. Найти неопределенный интеграл

1)

2)

3)

4)

5)