Непрерывность функции двух переменных

Функция z = f (x; y) называется непрерывной в точке (x ₀; y ₀), если она:

1) определена в точке (x ₀; y ₀);

2) имеет конечный предел при x ® x ₀ и y ® y ₀;

3) этот предел равен значению функции в точке (x ₀; y ₀), т. е.

Геометрический смысл непрерывности заключается в том, что график в точке (x ₀; y ₀) представляет собой сплошную нерасслаивающуюся поверхность.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в данной области.

Если в некоторой точке N (x; y) не выполняется условие непрерывности, то эта точка называется точкой разрыва функции z = f (x; y).

Нарушение условий непрерывности функции z = f (x; y) может происходить как в отдельных точках, так и в точках, образующих некоторую линию (линия разрыва).

Пример 10. Найти точки разрыва функций:

1)

2)

3)

Решение

1. Данная функция определена для любых x, y, таких, что х – у ¹ 0, т. е. х ¹ у. Следовательно, прямая x = y является линией разрыва функции.

2. Данная функция определена на R ² всюду, кроме точки (5; 0), которая и является точкой разрыва функции.

3. Функция определена для любых x, y, z, таких, что Сфера с центром в начале координат и радиусом 4 является поверхностью разрыва функции.

Тест 6. Функция не является непрерывной в точке:

1) (0; 0);

2) (2; 1);

3) (0; 1);

4) (8; 0);

5) (1; 2).