Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым (выпуклым вверх) на интервале (a; b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рисунок 33).

Рисунок 33

График дифференцируемой функции y = f (x) называется вогнутым (выпуклым вниз) на интервале (a; b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рисунок 34).

Рисунок 34

Теорема 4 (достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции). Если f ¢ ¢ (x) < 0 в интервале (a; b), то график функции является выпуклым в этом интервале. Если f ¢ ¢ (x)> 0 в интервале
(a; b), то график функции является вогнутым в этом промежутке.

Точки, в которых вторая производная функции y = f (x) равна нулю или бесконечности либо вовсе не существует, называются критическими точками второго рода. Эти точки лежат внутри области определения данной функции.

Точка M (x ₀; f (x ₀)), отделяющая выпуклую часть непрерывной функции от вогнутой или наоборот, называется точкой перегиба (рисунок 35).

Точки перегиба функции находятся среди критических точек второго рода.

Рисунок 35

Заметим, что график функции пересекает касательную в точке перегиба и переходит с одной ее стороны на другую.

Теорема 5 (необходимое условие точки перегиба). Если х ₀ – точка перегиба графика функции y = f (x), то либо вторая производная в этой точке не существует, либо

Теорема 6 (достаточное условие точки перегиба). Если при переходе через критическую точку x ₀ вторая производная меняет знак, то точка M (x ₀; f (x ₀)) есть точка перегиба функции y = f (x). Если же знака не меняет, то точка M (x ₀; f (x ₀)) точкой перегиба не является.

Пример 4. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции

Решение

Функция определена и дважды дифференцируема при x Î R

у ²

Находим точки, в которых вторая производная обращается в ноль или не существует:

1) у ² = 0 Þ

2) у ² – не существует; таких точек нет.

Функция выпукла на промежутке вогнута на промежутке

Точка – точка перегиба; (рисунок 36).

Рисунок 36

Тест 6. Кривая y = f (x) выпукла вниз на интервале (a; b), если во всех точках этого интервала выполняется соотношение:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 7. Точка перегиба функции y = x ⁵ – x + 5 равна:

1) 0;

2) 5;

3) 1;

4) –1;

5) 5.