Общая схема исследования функции и построения графика

Исследование функции y = f (x)целесообразно вести в определенной последовательности:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат.

4. Найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции.

5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

6. Найти асимптоты.

7. Построить график функции.

Пример 6. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение

Выполним все семь операций предложенной выше схемы исследования.

1. Функция не определена при x = 1 и x = –1. Область определения D (y) функции – вся числовая ось, за исключением точек x = 1 и x = –1, т. е.

2. Функция является нечетной, так как

Следовательно, график ее симметричен относительно начала коор-
динат. Для построения графика достаточно исследовать ее при

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат: с осью Oy график пересекается при х = 0, откуда y = 0, т. е. О (0; 0) – точка пересечения с осью Oy; с осью график пересекается, если у = 0,
т. е. откуда х = 0.

Таким образом, О (0; 0) – единственная точка пересечения графика с осями координат.

4. Находим интервалы возрастания и убывания функции.

Находим первую производную

Можно увидеть, что y ¢ > 0 в области определения, и функция является возрастающей на каждом интервале области определения.

Исследуем функцию на экстремум. Так как то критическими точками являются точки x ₁ = 1 и x ₂ = –1 (y ¢ не существует), но они не принадлежат области определения функции. Функция экстремумов не имеет.

5. Исследуем функцию на выпуклость. Находим y ²

Вторая производная равна нулю или не существует в точках х ₁ = 0, На рисунке 38 представлена схема изменения знаков второй производной исследуемой функции.

Рисунок 38

Точка – точка перегиба графика функции.

График выпуклый вверх на интервалах (–1; 0) и (1; ¥); выпуклый вниз на интервалах (–¥; –1) и (0; 1).

6. Прямые x = 1 и x = –1 являются ее вертикальными асимптотами. Выясним наличие наклонной асимптоты

(k = 0 при x ® +¥ и при x ® –¥),

Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение y = 0. Прямая y = 0 является асимптотой и при x ® +¥, и при x ® –¥.

7. График функции изображен на рисунке 39.

Рисунок 39

Ответы на тестовые задания