Четность, нечетность и периодичность функции

Функция f (x) называется четной, если:

1) множество D (f) симметрично относительно нуля;

2) для любого x Î D (f) справедливо равенство f (– x) = f (x).

График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Функция f (x) называется нечетной, если:

1) множество D (f) симметрично относительно нуля;

2) для любого справедливо равенство f (– x) = – f (x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

Функция f (x) называется периодической, если существует такое число Т ¹ 0, что для любого справедливы условия:

1)

2) f (x – T) = f (x + T) = f (x).

Число T называется периодом функции f (x). Если T – период функции f (x), то числа ± Т, ±2 Т, ±3 Т, ¼ также являются периодами этой функции. Как правило, под периодом функции понимают наименьший из ее положительных периодов, если таковой существует.

Если функция f (x) периодическая с периодом T, то ее график переходит сам в себя при сдвиге вдоль оси Ох на T единиц влево или вправо.

Пример 1. Указать, какие из следующих функций – четные, какие – нечетные, а какие – общего вида:

1) f (x)

2) f (x)

3) f (x)

Решение

1) D (f) = (–¥; +¥), и область определения функции симметрична относительно начала координат; кроме того, f (– x)
– f (x), т. е. данная функция нечетная;

2) D (f) = (–¥; +¥) и f (– x) f (x), следовательно, функция четная;

3) D (f) = (–¥; +¥) и f (– x) f (x), т. е. данная функция общего вида.

Пример 2. Определить, является ли данная функция f (x) = sin 4 x периодической, и найти ее наименьший положительный период, если он существует.

Решение

Наименьшим положительным периодом функции sin x является число 2p. Покажем, что наименьший положительный период sin 4 x – число

Действительно, т. е. – период данной функции. С другой стороны, если T ₁ > 0 – какой-либо другой период этой функции, то для всех x, т. е. x Î R. Отсюда следует, что 4 T ₁ – период функции sin t, где t = 4 x, и, значит, т. е.

Таким образом, – наименьший положительный период функции sin 4 x.

Аналогично можно показать, что наименьший положительный период функции и (k ¹ 0) – это число .

Тест 1. Указать, какая из следующих функций является четной:

1) f (x)

2) f (x)

3) f (x)

4) f (x)

5) f (x)

Тест 2. Определить, какая из следующих функций является периодической:

1) f (x)

2) f (x)

3) f (x)

4) f (x)

5) f (x)