Теорема Коши

Теорема. Пусть функции y = f (x) и удовлетворяют следующим условиям:

1) непрерывны на отрезке [ a; b ];

2) дифференцируемы на интервале (a; b);

3) j¢ (x) ¹ 0 во всех точках интервала (a; b).

Тогда существует по крайней мере одна точка с Î (а; b), в которой выполняется равенство

(2)

Формулу (2) называют формулой конечных приращений Коши.

Замечание. Из условия теоремы следует, что

Пример 7. Проверить, может ли быть применима теорема Коши для функций f (x) = x ³ и j(x) = x ² на отрезке [0; 2].

Решение

Функции удовлетворяют следующим условиям:

1) непрерывны на отрезке [0; 2];

2) дифференцируемы на интервале (0; 2): и при x = 0 производные обращаются в нуль: и но внутри промежутка производные обеих функций отличны от нуля;

3) каждая из функций, например, y = j(x), имеет неравные значения на концах отрезка [0; 2]

т. е.

Таким образом, все условия теоремы Коши на данном отрезке выполняются. Следовательно, теорема Коши на данном отрезке применима.

Тест 8. Теорема Коши применима, если функции y = f (x), y = j(x):

1) непрерывны на отрезке [ a; b ];

2) дифференцируемы на интервале (a; b);

3) во всех точках интервала (a; b);

4) непрерывны на отрезке [ a; b ], дифференцируемы на интервале (a; b), во всех точках интервала (a; b);

5) непрерывны на отрезке [ a; b ] и дифференцируемы на интервале (a; b).