Теорема Лагранжа

Теорема. Пусть функция y = f (x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [ a; b ];

2) дифференцируема на интервале (a; b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка
c Î [ a; b ], в которой выполняется равенство

. (1)

Геометрический смысл теоремы: на кривой y = f (x) всегда найдется хотя бы одна точка М с абсциссой, равной с, такая, что касательная, проведенная к кривой в этой точке, будет параллельна хорде, стягивающей дугу АВ (рисунок 31).

Рисунок 31

Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

Формулу (1) называют формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.

Пример 4. Проверить, может ли быть применима теорема Лагранжа для функции на отрезке

Решение

Функция не определена при следовательно, не является непрерывной на данном отрезке, т. е. первое условие теоремы не выполняется и на данном отрезке теорема Лагранжа не применима.

Пример 5. Проверить, может ли быть применима теорема Лагранжа для функции на отрезке

Решение

1.Функция непрерывна на отрезке

2. Проверяем выполнение второго условия теоремы: найдем производную функции

Производная не существует при х = 0 и при х = 1.

В частности, производная не существует в точке

Таким образом, второе условие теоремы не выполняется и на данном отрезке теорема Лагранжа не применима.

Пример 6. Проверить, может ли быть применима теорема Лагранжа для функции на отрезке

Решение

Функция удовлетворяет следующим условиям:

1)непрерывна на отрезке

2) дифференцируема на интервале

Таким образом, оба условия теоремы выполняются и на данном отрезке теорема Лагранжа применима.

Тест 7. Теорема Лагранжа применима, если функция y = f (x):

1) непрерывна на отрезке [ a; b ];

2) дифференцируема на интервале (a; b);

3) непрерывна на отрезке [ a; b ] и дифференцируема на интервале (a; b);

4) на концах интервала принимает равные значения: f (a) = f (b);

5) непрерывна на отрезке [ a; b ], дифференцируема на интервале
(a; b) и на концах интервала принимает равные значения: f (a) = f (b).