Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Асимптоты графика функции
Существуют различные точки зрения на понятие асимптоты. Асимптотой графика функции y = f (x) называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика функции при неограниченном удалении от начала координат. Асимптотой графика функции y = f (x) называется прямая обладающая тем свойством, что расстояние от точки M (x; f (x)) графика до этой прямой при удалении точки M (x; f (x)) в бесконечность стремится к нулю (рисунок 37). Из определения следует, что асимптоты могут существовать только у графиков функций, имеющих сколь угодно далекие точки («неограниченные» кривые). а) б)
в)
Рисунок 37
Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизонтальные. На рисунке 37а изображена вертикальная асимптота, на рисунке Этими тремя случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот. Нахождение асимптот графика функции y = f (x) основано на утверждениях, представленных ниже.
Теорема 7. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x 0(исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х ® х 0 – 0(слева) или при х ® х 0 + 0(справа) равен бесконечности, т. е. f (x) = ¥ или f (x) = ¥. Тогда прямая x = x 0 является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x). Вертикальные асимптоты x = x 0 следует искать в точках разрыва функции y = f (x) или на концах ее области определения (a; b), если a и b – конечные числа.
Теорема 8. Пусть функция y = f (x) определена при достаточно больших и существует конечный предел функции f (x) = b. Тогда прямая y = b есть горизонтальная асимптота графика функции y = f (x). Замечание. Если пределы f (x) = b и f (x) = b 1– конечные и различные, то прямые y = b и y = b 1 будут горизонтальными асимптотами (правосторонней и левосторонней). Может оказаться, что только один из этих двух пределов конечен, тогда будет одна горизонтальная асимптота. В том случае, если f (x) = ¥, функция можетиметь наклонную асимптоту.
Теорема 9. Пусть функция y = f (x) определена при достаточно больших x и существуют конечные пределы и (f (x) – kx) = b. Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции y = f (x). Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.
Пример 5. Найти асимптоты графика функции f (x) Решение Функция непрерывна всюду, кроме точки х = 1, в которой она терпит разрыв второго рода, причем Отсюда следует, что прямая х = 1 – вертикальная асимптота и других вертикальных асимптот нет. Проверим, есть ли у графика функции наклонные асимптоты. Находим откуда Таким образом, прямая у = х – наклонная асимптота графика функции при х ® +¥. Аналогично получим, что эта прямая является наклонной асимптотой и при х ® –¥. Поскольку угловой коэффициент k наклонной асимптоты не равен нулю, то график функции не имеет горизонтальных асимптот.
Тест 8. Горизонтальной асимптотой графика функции f (x) является прямая: 1) x = 3; 2) y = –3; 3) x = 5; 4) y = 9; 5) y = 1.
|