Асимптоты графика функции

Существуют различные точки зрения на понятие асимптоты.

Асимптотой графика функции y = f (x) называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика функции при неограниченном удалении от начала координат.

Асимптотой графика функции y = f (x) называется прямая обладающая тем свойством, что расстояние от точки M (x; f (x)) графика до этой прямой при удалении точки M (x; f (x)) в бесконечность стремится к нулю (рисунок 37).

Из определения следует, что асимптоты могут существовать только у графиков функций, имеющих сколь угодно далекие точки («неограниченные» кривые).

а) б)

в)

Рисунок 37

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

На рисунке 37а изображена вертикальная асимптота, на рисунке
37б – горизонтальная асимптота, а на рисунке 37в – наклонная.

Этими тремя случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот.

Нахождение асимптот графика функции y = f (x) основано на утверждениях, представленных ниже.

Теорема 7. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x ₀(исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х ® х ₀ – 0(слева) или при х ® х ₀ + 0(справа) равен бесконечности, т. е. f (x) = ¥ или f (x) = ¥. Тогда прямая x = x ₀ является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x).

Вертикальные асимптоты x = x ₀ следует искать в точках разрыва функции y = f (x) или на концах ее области определения (a; b), если a и b – конечные числа.

Теорема 8. Пусть функция y = f (x) определена при достаточно больших и существует конечный предел функции f (x) = b. Тогда прямая y = b есть горизонтальная асимптота графика функции y = f (x).

Замечание. Если пределы f (x) = b и f (x) = b ₁– конечные и различные, то прямые y = b и y = b ₁ будут горизонтальными асимптотами (правосторонней и левосторонней).

Может оказаться, что только один из этих двух пределов конечен, тогда будет одна горизонтальная асимптота.

В том случае, если f (x) = ¥, функция можетиметь наклонную асимптоту.

Теорема 9. Пусть функция y = f (x) определена при достаточно больших x и существуют конечные пределы и (f (x) – kx) = b. Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции y = f (x).

Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

Пример 5. Найти асимптоты графика функции f (x)

Решение

Функция непрерывна всюду, кроме точки х = 1, в которой она терпит разрыв второго рода, причем Отсюда следует, что прямая х = 1 – вертикальная асимптота и других вертикальных асимптот нет.

Проверим, есть ли у графика функции наклонные асимптоты. Находим откуда

Таким образом, прямая у = х – наклонная асимптота графика функции при х ® +¥. Аналогично получим, что эта прямая является наклонной асимптотой и при х ® –¥.

Поскольку угловой коэффициент k наклонной асимптоты не равен нулю, то график функции не имеет горизонтальных асимптот.

Тест 8. Горизонтальной асимптотой графика функции f (x) является прямая:

1) x = 3;

2) y = –3;

3) x = 5;

4) y = 9;

5) y = 1.