Числовые ряды

Основные понятия

Пусть дана числовая последовательность .

Выражение вида

(1)

называется числовым рядом, или просто рядом.

Числа называются членами ряда, член a_n с произвольным номером – общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда …, … называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм

(2)

Пример 1. Пусть дана числовая последовательность

. (3)

Тогда последовательность будет иметь вид

…,

Последовательности (3) соответствует ряд

(4)

Пример 2. Рассмотрим ряд

(5)

Найдем его частичную сумму S_n. Имеем

Его частичную сумму можно упростить, если заметить, что

Получим

Тест 1. Определить второй член ряда

1)

2)

3)

4)

5)

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу S, которое называется суммой ряда (1). Символически

Если же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Тест 2. Определить частичную сумму S ₃ ряда 1 + + + +…:

1)

2)

3)

4)

5) 3.

Простейшими примерами числовых рядов, вопрос о сходимости которых решен, являются следующие ряды:

1. – геометрический ряд, который при < 1 сходится, при ≥ 1 расходится.

2. – обобщенный гармоничный ряд, который при α > 1 сходится, при α ≤ 1 расходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда + + +…+ +….

Решение

Это геометрический ряд, так как q = < 1, то ряд является сходящимся.

Тест 3. Указать, при каких значениях a обобщенный гармонический ряд является сходящимся:

1) при любых a;

2) при 0 < a< 1;

3) при a > 1;

4) при a≤ 1;

5) при < 1.

Тест 4. Для геометрического ряда 1+ + + +… определить знаменатель q:

1)

2)

3)

4)

5)

Факты сходимости и расходимости ряда устанавливаются с помощью признаков сходимости рядов, к рассмотрению которых и переходим.