Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

Признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами

(6)

. (7)

Если для всех n выполняется неравенство то из сходимости ряда (7) следует сходимость ряда (6), а из расходимости ряда (6) следует расходимость ряда (7).

Замечание. При применении признака сравнения обычно в качестве эталонных рядов рассматриваются следующие ряды:

а) гармоничный ряд;

б) обобщенный гармонический ряд;

в) геометрический ряд.

Пример 6. Выяснить, сходится ли ряд

Решение

Так как , т. е. -й член ряда не стремится к нулю при то ряд расходится.

Тест 6. Для исследования вопроса сходимости ряда сравниваем его с Делаем вывод:

1) ряд расходится, так как >

2) ряд сходится, так как <

3) ряд сходится, так как >

4) ряд расходится, так как >

5) ряд расходится, так как >

Предельный признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда

,

с неотрицательными членами, причем для всех n, начиная с некоторого.

Тогда, если ряд сходится, сходится и ряд если же ряд расходится, то расходится и ряд

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

Решение

Члены ряда меньше соответствующих членов ряда , который, являясь рядом бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сходится. Следовательно, сходится и данный ряд.

Тест 7. Чтобы исследовать ряд с помощью предельного признака сравнения, используем ряд Находим:

1)

2)

3)

4) –

5)

Признак Даламбера. Если существует предел то ряд сходится при и расходится при

Замечание:

1. Если l = 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

2. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или aⁿ.

Пример 8. Исследовать сходимость ряда

.

Решение

Воспользуемся признаком Даламбера. Общий член ряда Поэтому и Ряд расходится. Заметим, что мы доказали также соотношение (общий член сходящегося ряда стремится к нулю).

Тест 8. С помощью признака Даламбера определяем сходимость ряда Тогда равен:

1)

2)

3)

4)

5)

Признак Коши. Если существует предел

(8)

то ряд сходится при и расходится при

Замечание. Как и для признака Даламбера, в случае, когда l = 1, вопрос о сходимости ряда становится открытым.

Пример 9. Исследовать, сходится ли ряд

Решение

Ряд сходится.

Тест 9. Чтобы исследовать ряд применяя признак Коши, необходимо найти:

1)

2)

3)

4)

5)

Пример 10. Исследовать сходимость ряда

Решение

Применим интегральный признак Коши. По виду общего члена найдем функцию f (x) =

Вычислим несобственный интеграл

=

=

Интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится.

Тест 10. Исследуем сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши. Найдем:

1)

2)

3)

4)

5)