Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Дифференциальные уравнения второго порядка






 

1) Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами

 

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами p и q называется уравнение вида

(8)

Алгебраическое уравнение k 2 + pk + q = 0 называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения, а его корни – характеристическими числами (корнями).

Для нахождения общего решения уравнения (8):

1. Запишем соответствующее характеристическое уравнение

k 2 + pk + q = 0.

2. В соответствии со знаком дискриминанта возможны три случая:

а) D > 0. Тогда характеристическое уравнение имеет два действительных корня k 1 ¹ k 2, и общее решение уравнения (8) имеет вид

(9)

б) D = 0. Тогда k = k 1 = k 2 – действительный корень и общее решение уравнения (8) имеет вид

(10)

в) D < 0. Тогда корни k 1, k 2 – комплексно-сопряженные числа, т. е. k 1, 2 = a ± i b, где a, b – действительные числа, и общее решение уравнения (8) имеет вид

(11)

Отметим, что во всех перечисленных случаях С 1, С 2 – произвольные постоянные.

 

Пример 9. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1)

2)

3)

Решение

1. Запишем характеристическое уравнение k 2 + k – 2 = 0.

Найдем его корни

; k 1 = –2; k 2 = 1.

Так как k 1 ¹ k 2 – действительные числа, то общее решение находим по формуле (9)

2. Запишем характеристическое уравнение k 2 + 2 k + 1 = 0.

Найдем его корни

k 1 = k 2 = –1.

В этом случае общее решение находим по формуле (10)

3. Запишем характеристическое уравнение k 2 + 4 k + 5 = 0.

Найдем его корни

Здесь

Общее решение находим по формуле (11)

Тест 19. Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:

1)

2)

3)

4)

5)

 

Тест 20. Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является:

1)

2)

3)

4)

5)

 

Тест 21. При решении однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами = 0:

1) вводится подстановка вида y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции;

2) вводится подстановка вида y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3) составляется характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0.

 

Тест 22. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет два различных действительных корня k 1 и k 2. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

 

Тест 23. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет комплексные корни Тогда общее решение однородного диф-
ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

 

Тест 24. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет равные корни k 1 = k 2. Тогда общее решение однородного дифферен-
циального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

 

Тест 25. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет комплексные корни Тогда общее решение однородного диф-
ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

 

Тест 26. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет D = 0. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

 

Тест 27. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет D < 0. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 28. Общее решение дифференциального уравнения
у ¢ ¢ + 2 у ¢ + у = 0 находим по формуле:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

 

Тест 29. Общее решение дифференциального уравнения
y ¢ ¢ + 4 y + 5 y = 0 находим по формуле:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

 

Тест 30. Общим решением дифференциального уравнения может являться функция:

1)

2)

3)

4)

5)

 

Ответы на тестовые задания

 

Номер теста                        
Правильный ответ                        

 

2) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

 

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

f (x), (12)

где p и q – постоянные;

функция f (x) – непрерывная.

 

Общее решение неоднородного уравнения можно представить в виде

где y 0(x) – общее решение соответствующего однородного уравнения;

yn (x) – частное решение неоднородного уравнения.

 

Тест 31. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:

1)

2)

3)

4)

5)

 

Тест 32. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:

1)

2)

3)

4)

5)

 

Тест 33. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами f (x) имеет вид:

1)

2) где – общее решение соответствующего однородного уравнения;

3)

4) , где – частное решение неоднородного уравнения;

5) где – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение неоднородного уравнения.

 

Несколько простейших случаев отыскания частных решений уравнения (12) приведены ниже.

1. Пусть в правой части уравнения (12) функция

f (x) (13)

где – многочлен степени n.

 

Тогда частное решение уравнения (12) будем искать в виде решений, приведенных в таблице 4.

 

Таблица 4

Если a не является корнем соответствующего характеристического уравнения Если a – корень характеристического уравнения кратности 1 Если a – корень характеристического уравнения кратности 2
(14) (15) (16)

 

В равенствах 14–16 Qn (x) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.

Напомним, что если n = 0, то Qn (x) = A; n = 1, то Qn (x) = Ax + B;
n = 2, то Qn (x) = Ax 2 + Bx + C и т. д.

 

Пример 10. Определить вид частного решения уравнения

Решение

Запишем соответствующее однородное уравнение

1. Характеристическое уравнение k 2 – 4 k + 3 = 0 имеет корни k 1 = 1; k 2 = 3.

2. В правой части данного уравнения функция вида (13)

3. Здесь a = 2 – не является корнем характеристического уравнения; – многочлен первой степени.

Следовательно, частное решение данного неоднородного уравнения надо искать в виде (14), т. е. = e 2 x (Ax + B).

2. Пусть в правой части уравнения (12) функция

f (x) (17)

где C 1 и C 2 – постоянные.

 

Тогда частное решение уравнения (12) будем искать в виде решений, приведенных в таблице 5.

Таблица 5

Если a ± b i не являются корнями соответствующего характеристического уравнения Если a ± b i – корни характеристического уравнения
(18) (19)

 

Пример 11. Определить вид частного решения уравнения

Решение

Запишем соответствующее однородное уравнение

1. Характеристическое уравнение k 2 + 4 k – 2 = 0 имеет корни

2. В правой части данного уравнения функция вида (17)
f (x) т. е. f (x)

3. Здесь a = 0; b = 2. Составленные из этих значений комплексные числа a ± b i = 0 ± 2 i не являются корнями характеристического уравнения.

Следовательно, частное решение данного неоднородного уравнения надо искать в виде (18), т. е. или

 

Тест 34. Характеристическое уравнение k 2 – 4 k + 3 = 0, соответ-
ствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами имеет корни k 1 = 1; k 2 = 3. Тогда частное решение соответствующего неоднородного уравнения имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 35. Характеристическое уравнение k 2 – 4 k + 4 = 0, соответ-
ствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами имеет корень k = 2. Тогда частное решение соответствующего неоднородного уравнения имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

 

После того, как вид частного решения определен, методом неопределенных коэффициентов находим коэффициенты A и B.

 

Ответы на тестовые задания

 

Номер теста          
Правильный ответ          

 

 

Ряды

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.031 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал