Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основные понятия

Обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида

(1)

связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у (х) и ее производные

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Пример 1. Примерами дифференциальных уравнений первого порядка являются: xy ¢ + sin x × y = 0, yy ¢ + (x ² + y ²) y ¢ = e^x; дифференциальных уравнений второго порядка являются: y ¢ ¢ + y ¢ sin x + y = 1, y ¢ ¢ + y¢ – 2 = cos x; дифференциальных уравнений третьего порядка являются: и т. д.

Решением дифференциального уравнения (1) называется такая дифференцируемая функция y = j(x), которая вместе со своими производными при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой. Процесс отыскания решений называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется функция y = j(x; C ₁; C ₂; ¼; C_n), которая зависит от переменной x и n независимых произвольных постоянных C ₁, C ₂, ¼, C_n и вместе со своими производными обращает уравнение (1) в тождество.

Если решение задано в неявном виде j(х; у) = 0, то оно называется интегралом уравнения (1).

Общее решение, заданное в неявном виде F (x; y; C ₁; C ₂; ¼; C_n) = 0, называется общим интегралом уравнения. Частным решением уравнения (1) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным C ₁, C ₂, ¼, C_n определенные числовые значения.

Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка формулируется следующим образом: найти частное решение y = y (x) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям

Пример 2. Проверить, является ли функция y = Cx ³ решением дифференциального уравнения 3 y – xy ¢ = 0.

Решение

По условию: y = Cx³. Дифференцируя по переменной x, получаем y¢ = (Cx³)¢ = 3Cx². Подставляя выражения y и y¢ в данное дифференциальное уравнение, получаем тождество 3Cx³ – x × 3Cx² = 0. Следовательно, функция y = Cx³ является общим решением дифференциального уравнения 3y – xy¢ = 0.

Пример 3. По общему решению y = Cx³ некоторого дифференциального уравнения найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(1) = 3.