Несобственные интегралы I и II рода

Понятие определенного интеграла было введено для функций, заданных на интервале [ a; b ]. Однако существуют понятия интеграла на случай функций, определенных на неограниченных интервалах.

Пусть функция определена на бесконечном интервале [ a; ¥) и интегрируема на любом интервале [ a; b ], где b < ¥.

Несобственным интегралом I рода функции f (x) на интервале [ a; ¥) называется предел

= (6)

Если предел в левой части равенства (6) является конечным числом, то интеграл называется сходящимся, если этого предела не существует или он равен ¥, то говорят, что интеграл расходится.

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Решение

Имеем

| | =

Тест 6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

1) расходится;

2)

3) 1;

4)

5) 2.

При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что подынтегральная функция на [ a; b ] является ограниченной. Тем не менее существует обобщение понятия определенного интеграла и на случаи, когда нарушается требование ограниченности подынтегральной функции на [ a; b ].

Предположим, что f (x) является ограниченной и интегрируемой на любом отрезке [ a + e; b ], 0 < e < b – a, но неограниченной в любой окрестности точки а. В таком случае точка а называется особой точкой.

Несобственным интегралом II рода функции f (x) на отрезке [ a; b ] называется предел

= (7)

Если предел в левой части равенства (7) существует и является конечным числом, то интеграл называется сходящимся. В противном случае он называется расходящимся.

Пример 7. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Решение

Имеем

| =

Делаем вывод, что данный несобственный интеграл расходится.

Тест 7. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

1) расходится;

2)

3) 1;

4)

5) 2.

Приближенные методы вычисления
определенных интегралов

Существует много формул приближенного вычисления определенных интегралов. Приведем наиболее простую из них – формулу трапеций.

Пусть в интеграле функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ]. Разобьем отрезок [ a; b ] на n равных частей точками = – значение функции = в точке Тогда имеет место так называемая формула трапеций

(8)

Пример 8. Вычислить приближенно определенный интеграл применив формулу трапеций, взяв n = 3.

Решение

Находим шаг h: Получаем: x ₀ = 1, x ₁ = 2, х ₂ = 3, х ₄ = 4. Тогда соответствующими значениями функции y ₀ = 1, Подставляя эти значения в формулу (8), получим

Тест 8. Вычислить приближенно определенный интеграл применив формулу трапеций, взяв n = 4:

1)

2) 2;

3)

4)

5)

Ответы на тестовые задания