Кратные интегралы

Множество точек называется связным, если любые две из них можно соединить линией, все точки которой принадлежат данному множеству.

Под геометрической фигурой Ф будем понимать одно из следующих связных (включая границу) множеств точек:

1) линия L в R ²или R ³, в частности отрезок [ a; b ] координатной оси;

2) плоская область D в R ² (рисунок 52);

3) поверхность Q в R ³ (рисунок 53);

4) пространственная область V в R ³, ограниченная замкнутой поверхностью, − тело в пространстве (рисунок 53).

Определение. Диаметром d фигуры Ф называется максимальное расстояние между двумя ее точками.

Пример 1. Диаметр параллелограмма − длина большей диагонали.

В дальнейшем будем рассматривать фигуры конечного диаметра (ограниченные).

Определение. Под мерой фигуры Ф будем понимать: для отрезка [ a; b ] − его длину |[ a; b ]|, для линии L − ее длину l, для плоской области D и поверхности Q − их площади s и q соответственно, для пространственной области V − объем v соответствующего тела.

Рассмотрим фигуру Ф, мера которой μ, и определенную на ней непрерывную скалярную функцию f (P), P Î Ф. Осуществим построение, геометрическая интерпретация которого применительна к плоской области D. Выбранная в качестве конкретного примера фигура Ф дана на рисунках 52 и 53.

Для этого выполним следующие действия:

1. Разобьем Ф произвольным образом на n элементарных фигур Δ Ф_i с мерами Δ μ _i, i = 1, 2, ¼, n.

2. На каждой элементарной фигуре выберем произвольную точку P_i Δ Ф_i и вычислим значения f (P_i) функции в этих точках.

3. Найдем произведения f (P_i)Δ μ _i, i = 1, 2, ¼, n.

4. Составим сумму

S_n = (1)

которую будем называть n-й интегральной суммой для функции f (P) по фигуре Ф.

5. Перейдем к пределу в сумме (1) при условии, что наибольший из диаметров λ элементарных фигур Δ Ф_i стремится к 0

S_n =

Очевидно, что для данной фигуры Ф и выбранного n можно составить сколько угодно интегральных сумм, зависящих от разбиения фигуры Ф и выбора точек P_i Δ Ф_i.

Рисунок 52 Рисунок 53

Определение. Предел n -й интегральной суммы (1) для данной функции f (P) и фигуры Ф при условии, что каждая из элементарных фигур стягивается в точку (λ → 0), если он существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы, называется интегралом по фигуре Ф от скалярной функции f (P) и обозначается

= (2)

Теорема. Если на связной, ограниченной и содержащей граничные точки фигуре Ф скалярная функция f (P) непрерывна, то интеграл по фигуре Ф от этой функции существует.

Частные случаи интегралов по фигуре (кратных интегралов)