Вычисление двойного интеграла

1. Пусть функция f (x; y) непрерывна в области D. Если D – прямоугольник, то при вычислении двойного интеграла имеет место формула

(4)

которая показывает, что порядок интегрирования можно менять.

Интеграл (4) представляет собой объем тела, ограниченного снизу прямоугольником P, сбоку – боковыми гранями прямой призмы, построенной на этом прямоугольнике, а сверху – той частью поверхности, которая вырезана этой призмой (рисунок 55).

Рисунок 55

2. Если функция f (x; y) непрерывна на множестве D = {(x; y): a ≤ x ≤ b, y ₁(x) ≤ y ≤ y ₂(x)}, где y ₁(x)и y ₂(x) непрерывны на отрезке [ a; b ] и y ₁(x)≤
≤ y ₂(x) на [ a; b ] (область D правильная в направлении оси OY, т. е. любая прямая, параллельная оси OY, пересекает область D не более чем в двух точках) (рисунок 56), то верно равенство

(5)

Правая часть в формуле (4) называется повторным интегралом, a и b − его внешними пределами (они всегда постоянны), y ₁(x) и y ₂(x) − внутренними пределами интегрирования (они могут быть переменными и постоянными). Вначале вычисляется внутренний интеграл, при этом вторая переменная (в данном случае x), соответствующая внешнему интегралу, считается постоянной, а затем – внешний интеграл с последующим применением формулы Ньютона-Лейбница.

3. Если функция f (x; y) непрерывна в области D (рисунок 57),
D = {(x; y): c ≤ y ≤ d, x ₁(y) ≤ x ≤ x ₂(y), где функции x ₁(y) и x ₂(y) непрерывны на сегменте [ c; d ] и x ₁(y)≤ x ₂(y)на [ c; d ] (область D правильная в направлении оси OX, т. е. любая прямая, параллельная оси OX, пересекает область D не более чем в двух точках), то верно равенство

(6)

Рисунок 56 Рисунок 57

4. Если область D такова (рисунок 52), что к ней применима и формула (5), и формула (6), то

Это равенство используется для перемены порядка интегрирования в повторном интеграле.

Области более сложного вида следует разбить на части, к которым применима формула (5) или (6).