Степенные ряды. Функциональным рядом называют выражение вида

Основные понятия

Функциональным рядом называют выражение вида

, (10)

где u ₁(x); u ₂(x); ¼ (члены ряда) – функции одного и того же аргумента x, определенные в некоторой области X, u_n (x) – общий член ряда.

При различных значениях x Î X из ряда (10) будут получаться различные числовые ряды, которые могут как сходиться, так и расходиться.

Множество значений x Î X, при которых ряд (10) сходится, называется областью сходимости ряда.

Сумма ряда (10) есть функция от х, ее обозначают S (x).

Пример 13. Найти формулу общего члена функционального ряда

cos x + 2cos 2 x + 3cos 3 x + ¼.

Решение

Общий член ряда будет равен

Действительно, при n = 1 получим первый член ряда: при n = 2 – второй член ряда: при n = 3 – третий член ряда: и т. д.

Пример 14. Общий член функционального ряда равен Найти третий член ряда.

Решение

Если n = 3, то таким образом

Тест 12. Формула общего члена функционального ряда имеет вид . Тогда четвертый член ряда равен:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 13. Функциональный ряд, заданный формулой общего члена имеет вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Тест 14. Указать, какой из приведенных рядов является функциональным:

1)

2)

3)

4)

5)