Пример. При решении задач на цену, количество и стоимость при постоянной цене, чем больше количество, тем больше стоимость.

При решении задач на цену, количество и стоимость при постоянной цене, чем больше количество, тем больше стоимость.

Обратная пропорциональность и её свойства

Обратная пропорциональность - это функция вида , где х – независимая переменная, у – зависимая переменная, .

1. ООФ:

2. ОЗФ:

3. Функция нечётнаяÞ график функции симметричен относительно начала координат.

Дано: k\x=y, -x- противоположное значение аргумента.

Доказать: доказать – является ли данная функция чётной, нечётной или общего вида.

Доказательство: у(-х)=k\(-x)=-k\(x)=-у по определению функция k\x=y нечётная, так как при подстановке противоположного аргумента, значение функции изменилось на противоположное.

4. Если к> 0, то функция убывающая. Если к< 0, то функция возрастающая.

Дано: k\x1=y1, k\x2=y2, х1˂ х2, где х1, х2 Î (аналогично доказывается случай для х1, х2 Î

Доказать: у1˂ у2 или у1˃ у2

Доказательство:

1) оценим знак разности у1-у2=

2) х1-х2˂ 0 (по определению истинных числовых неравенств), так как х1˂ х2 (по условию)Þ х2-х1> 0

Произведение х1х2> 0 всегда, так как оба числа одного знака.

3) знак разности у1-у2 зависит от знака числа k.

4) если к> 0, то k(х2-х1)> 0 и х1х2> 0, следовательно у1-у2> 0, значит меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции на - функция убывает на (по определению). Так же на , следовательно убывает на всей ООФ – если к> 0, то функция убывающая

Если к˂ 0, то k(х2-х1)˂ 0 и х1х2> 0, следовательно у1-у2˂ 0, значит меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции на (по определению). Так же на , следовательно, возрастает на всей ООФ – если к˂ 0, то функция возрастающая.

5. График функции – гипербола, для построения достаточно 4 точек и ещё 4 симметричных точек.

Пример. Постройте график.

Характеристическое свойство:

Если функция является обратной пропорциональностью, то отношение двух значений аргумента равно обратному отношению соответствующихзначений функции.

Дано: у1=к\х1, у2=к\х2

Доказать:

Доказательство:

Следствие. Если функция является обратной пропорциональностью и аргумент и значение функции принимают положительные значения, то характеристическое свойство будет рассматриваться так: если функция является обратной пропорциональностью, то с увеличением (уменьшением) аргумента в несколько раз во столько же раз уменьшается (увеличивается) значение функции.