Определение арифметических действий над положительными рациональными числами. Законы сложения и умножения (с доказательством).

Обыкновенная дробь – это запись вида , где т – числитель, , п - знаменатель, (п≠ 0). Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель – сколько таких частей взяли.

Например, - целое разделили на 5 равных частей и взяли 3 из них.

Если т˂ п, то - правильная дробь.

Пример. ; ; .

Если т≥ п, то - неправильная дробь.

Пример. ; ; ; .

Любую неправильную дробь можно превратить в смешанное число.

Любое смешанное число можно превратить в неправильную дробь.

Дроби равны, если они выражают длину одного и того же отрезка.

Рациональное число – это множество равных между собой дробей.

Рациональное число можно представить любым числом из соответствующего множества, но, чаще всего, рациональные числа выражаются несократимой дробью.

Несократимая дробь – это обыкновенная дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами (НОД (т, п)=1. Например, 3 и 5, 4 и 21, 18 и 55 и др.).

Пример. ; ; . .

Множество положительных рациональных чисел обозначается . Множество натуральных чисел является подмножеством множества положительных рациональных чисел NÌ .

Суммой двух положительных рациональных чисел называется такое положительное рациональное число, у которого в числителе сумма соответствующих числителей, а знаменатель общий.

, где и

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Сумма двух положительных рациональных чисел всегда существует и находится единственным образом.

Законы сложения:

· Переместительный: a+b=b+a

· Сочетательный закон: (a+b)+g=a+(b+g)

Докажем переместительный закон сложения.

Дано: ; ,

Доказать: a+b=b+a.

Доказательство:

1) (по определению суммы на ).

2) (по определению суммы на ).

3) Рассмотрим дроби и .

(переместительный закон сложения на N), п=п Þ числители равны, знаменатели равны, следовательно дроби равны = (так как и ) Þ a+b=b+a.

Докажем сочетательный закон сложения.

Дано: ; , ,

Доказать: (a+b)+g=a+(b+g).

Доказательство:

1) (по определению суммы на ).

(по определению суммы на ).

2) (по определению суммы на ).

(по определению суммы на ).

3) Рассмотрим дроби и .

(сочетательный закон сложения на N), п=п Þ числители равны, знаменатели равны, следовательно дроби равны = . (так как и ) Þ (a+b)+g=a+(b+g).

Разностью двух положительных рациональных чисел называется такое положительное рациональное число, у которого в числителе разность соответствующих числителей, а знаменатель общий.

, где и , a˃ b, ˃

Разностью двух положительных рациональных чисел a-b называется такое положительное рациональное число g, которое будучи сложенным с b даст a.

a-b=gÛ g+b=a

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Произведением двух положительных рациональных чисел называется такое положительное рациональное число, у которого в числителе произведение соответствующих числителей, а в знаменателе произведение соответствующих знаменателей.

, где и

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Произведение двух положительных рациональных чисел всегда существует и находится единственным образом.

Законы:

· Переместительный: a·b=b·a

· Сочетательный закон: (a·b)·g=a·(b·g)

· Распределительный: (a+b)·g=a·g+b·g

Докажем переместительный закон умножения.

Дано: ; ,

Доказать: a·b=b·a.

Доказательство:

1) (по определению произведения на ).

2) (по определению произведения на ).

3) Рассмотрим дроби и .

и (переместительный закон умножения на N) Þ числители равны, знаменатели равны, следовательно дроби равны = . (так как и ) Þ a·b=b·a.

Докажем сочетательный закон умножения.

Дано: ; , ,

Доказать: (a·b)·g=a·(b·g).

Доказательство:

1) (по определению произведения на ).

(по определению произведения на ).

2) (по определению произведения на ).

(по определению произведения на ).

3) Рассмотрим дроби и .

и (сочетательный закон умножения на N) Þ числители равны, знаменатели равны, следовательно дроби равны = (так как и ) Þ (a·b)·g=a·(b·g).

Докажем распределительный закон умножения.

Дано: ; , ,

Доказать: (a+b)·g=a·g+b·g.

Доказательство:

1) (по определению суммы на ).

(по определению произведения на ).

2) (по определению произведения на ).

(по определению произведения на ).

(по определению суммы на ).

3) Рассмотрим дроби и .

(распределительный закон умножения на N), Þ числители равны, знаменатели равны, следовательно, дроби равны = (так как и ) Þ (a+b)·g=a·g+b·g.

Частным двух положительных рациональных чисел называется такое положительное рациональное число, у которого в числителе произведение числителя делимого на знаменатель делителя, а в знаменателе – произведение знаменателя делимого и числителя делителя.

, где и

Частным двух положительных рациональных чисел a: b называется такое положительное рациональное число g, которое будучи умноженным на b даст a.

a: b=gÛ g·b=a