Часть А.

1. Теоретико-множественный смысл натурального числа и числа «нуль». Смысл отношений «равно», «меньше». Свойства этих отношений (с доказательством).

Определение. Натуральным числом называется общее свойство конечных, равномощных между собой множеств.

Например, число 3 – это общее свойство конечных, равномощных между собой множеств, содержащих по 3 элемента. А={а, б, в}, В={5, 8, 7}, С={§, ©, ª } и др.

Определение. Ноль – это общее свойство пустых множеств.

Источники получения натуральных чисел: счёт предметов, измерение величин.

Определение. Отрезком натурального ряда называется множество чисел, составляющих натуральный ряд и не превосходящих числа а.

, ,

Определение. Счётом предметов называется установление взаимно однозначного соответствия между множеством предметов и отрезком натурального ряда.

В результате счёта мы отвечаем на два вопроса:

1) сколько элементов в множестве (количественное число)?

2) какое место занимает тот или иной объект (порядковое число)?

Понятие отношения «равно». Два целых неотрицательных числа равны тогда и только тогда, когда соответствующие множества равномощны.

а =в Û А~ В, где а = n(А), в = n(В)

Свойства отношения равенства. Отношение равенства на множестве целых неотрицательных чисел обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно отношение равенства – это отношение эквивалентности, оно разбивает на классы множество на котором задаётся.

1. Рефлексивность: а =а Û А~ А, где а = n(А) (т.к. свойством рефлексивности обладает отношение равномощности множеств).

2. Симметричность: (а=в Û в=а) Û (А~ ВÛ В~ А), где а = n(А), в = n(В) (т.к. свойством симметричности обладает отношение равномощности множеств).