Это формула полной вероятности,

где - вероятность того, что произойдет В и ;

– по другому – вероятность того, что В произойдет с любым из .

Пусть событие В произошло, это изменит вероятности . Надо найти условные вероятности осуществления события , i =1, … n при условии, что В произошло (т.е. если В произошло, то надо найти вероятность того, что ему предшествовало появление именно события ).

Формула полной вероятности Байеса (из (9) и (8)):

(10.2),

где – вероятность появления события до того как произошло В;

i =1, 2, … n.

( – как бы является удельным весом вероятности в сумме всех вероятностей ).

Производится n независимых опытов, имеющих два возможных исхода – появление и непоявление события А (вероятность появления p, непоявления q = 1 - p). Вероятность того, что при n испытаниях событие А наступает m раз вычисляется по формуле Бернулли:

(11.2),

где - число сочетаний из m элементов в n.

Пример: ;

.

Вероятность того, что в результате n независимых опытов событие А произойдет хотя бы один раз (может и больше): Р_n(A) = 1 - q ⁿ,

где q - вероятность непоявления события А в первом испытании;

q ⁿ - вероятность того, что А не произойдет ни разу;

1 - q ⁿ - вероятность того, что А произойдет один раз, или два раза... или все n раз.

Пример. Событие А - разрушение здания в сейсмическом районе, p = 0, 1 - вероятность разрушения его в течение первого года. Тогда q =1 - p - вероятность неразрушения в течение первого. Тогда Р₂(А)= 1-0.9²=0.19, Р₃(А)= 1-0.9³=0.271, Р₁₀(А)= 1-0.9¹⁰=0.651, Р₂₀(А)= 1-0.9²⁰=0.878, Р₅₀(А)= 1-0.9⁵⁰=0.995, где P_n(A) – вероятности разрушения здания за n лет.

Т.о. функция надежности (зависимость вероятности неразрушения от пройденного количества лет) от значения 1 асимптотически приближается к ОХ.