Функции случайных величин

Функция с.в. будет также случайной величиной Y=j(X). Ее распределение соответствует распределению аргумента, но с измененной шкалой абсцисс. P(y)=Prob(Y< y)=Prob(j(X)< y).

(36.3)=(17.3),

где y(y) - функция обратная j(х) (замена подинтегрального выражения x=y(y), dx=y¢ (y)dy).

Если Y=j(X), где j(X) - монотонная функция своего аргумента, то распределение Y определяется тем, что вероятность нахождения y в пределах y₁< Y< y₂ равна вероятности неравенства х₁< X< x₂,

где y₁=j(x₁) и y₂=j(x₂).

М.о. и дисперсия с.в. Y:

(37.3)=(20.3) и (22.3).

Доказательство (37.3):

Для линейной функции Y=aX+b из (37.3) и (18.3) следует

и D(Y)=a²D(X) (38.3).

Доказательство (38): .

Для функции Z=j(X, Y) двух случайных аргументов м.о. и дисперсия (39.3).

Если Z=j(X, Y)=X+Y и X и Y - независимы, то м.о. и дисперсия суммы независимых с.в. величин D(Z)=D(X)+D(Y).

Плотность распределения непрерывной с.в. Y, связанной монотонной функциональной зависимостью Y=j(X) с непрерывной с.в. Х:

или (40.3),

где x=y(y) - функция обратная y=j(x).

Для линейной функции y=ax+b из (40) следует

p(y)=(1/a)p(x) (40¢.3).

Если Y=j(X/R) и p(x/r) - условная плотность вероятности с.в. Х, входящей в систему (X, R), то условная плотность вероятности с.в. Y - ,

где y(y/r) - функция обратная Y=j(X/R), а безусловная плотность вероятности с.в. Y:

,

где p(r) - плотность вероятности с.в. R.

Если имеются функции с.в. U=U(X, Y) и V=V(X, Y), то, зная совместную плотность распределения p(x, y), совместная плотность распределения U и V:

(41.3)

(в скобках - Якобиан ).

Матожидания: (42.3),

дисперсия ,

корреляционный момент .

В случае линейного преобразования U=a₁X+b₁Y+c₁ и V=a₂X+b₂Y+c₂ по (41.3) и (42.3) имеем:

(43.3),

и (44.3).

Дисперсия

Доказательство (44)

Запишем еще раз дисперсии и корреляционные моменты:

, , (доказать самостоятельно).

Зная плотность распределения p(U, V), где U=U(X, Y) и V=V(X, Y), можно определить плотность распределения p(U) или p(V): .

Пример (стр.23 [7]). Стержень нагружен изгибающим моментом M _b и крутящим моментом M _t, и есть их совместная плотность вероятности p_q(M_b, M_t). Кроме того, моменты M_b и M_t стохастически независимы и подчиняются центрированному нормальному распределению:

,

где s _b и s _t – стандарты M _b и M _t.

Опасное состояние стержня достигается при превышении некоторой функцией этих моментов предельного значения M _r> M _{r, lim}, зависящего от свойств материала и геометрии сечения стержня. Например, для стержня круглого сечения из пластического материала эта функция может быть взята в виде , где M _r – приведенный момент, определенный в соответствии с критерием текучести, основанном на наибольших касательных напряжениях.

Касательное напряжение от крутящего момента , где I _r - полярный момент круглого сечения, y – радиус окружности, содержащей рассматриваемую точку, t = t _max при y=r (r – радиус стержня). Нормальное напряжение от изгибающего момента . Для расчета надежности стержня необходимо знать плотность вероятности p _u(M _r) приведенного момента M _r.

Перейдем к полярным координатам, положив , где 0£ q£ 2p. Согласно (41.3) совместная плотность распределения с. в. M_r и q:

.

Используя и замечая, что якобиан преобразования ,

найдем

Плотность распределения вероятности p_u(M_r) определяется интегрированием полученной формулы по углу q: . Используя формулу анализа , где - функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка, получим окончательно .

Если дисперсии моментов M _b и M _t одинаковы, т.е. s _b= s _t= s, то I ₀(0)=1 и . При этом приведенный момент подчиняется распределению Рэлея.